Тип 15 № 20241

Кредит взят на 15 лет, размер кредита равен $S = 6$ млн рублей.

Так как платеж дифференцированный, каждый год сумма долга уменьшается на

$$\frac{S}{15} = \frac{6}{15} = 0,4 \text{ млн рублей.}$$

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце «Выплата» вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты» за этот год.

Размер выплаты за $k+1$-й год можно найти по формуле

$$0,4 + (S - 0,4 \cdot k)\cdot \frac{x}{100} = 0,4 + (6 - 0,4 \cdot k)\cdot \frac{x}{100} = 0,4 + \frac{6x}{100} - \frac{0,4kx}{100}$$

Известно, что наибольший платеж составит не более $1,9$ млн рублей. При этом из формулы для выплаты видно, что платеж наибольший, когда $k$ — минимально возможное, то есть $k + 1 = 1$; $k = 0$. Подставим это значение и получим неравенство:

$$0,4 + \frac{6x}{100} \le 1,9$$

$$\frac{6x}{100} \le 1,5$$

$$6x \le 150$$

$$x \le \frac{150}{6} = 25$$

Также известно, что наименьший платеж составил не менее $0,5$ млн рублей. При этом из формулы для выплаты видно, что платеж наименьший, когда $k$ — максимально возможное, то есть $k + 1 = 15$; $k = 14$. Подставим это значение и получим неравенство:

$$0,4 + \frac{6x}{100} - \frac{0,4 \cdot 14x}{100} \ge 0,5$$

$$\frac{6x - 5,6x}{100} \ge 0,1$$

$$0,4x \ge 10$$

$$x \ge \frac{100}{4} = 25$$

Итак, получили, что с одной стороны $x$ не больше 25, а с другой — не меньше 25, то есть $x = 25$.

Ответ: 25