Тип 15 № 20242

Уравнение равносильно системе

$$\begin{cases} x^2-4x+a=0 \\ 5x^2-6ax+a^2\ne 0 \end{cases}$$

Решением данной системы будут корни первого уравнения, не являющиеся корнями уравнения $5x^2-6ax+a^2=0$. Найдем те значения параметра, при которых первое уравнение имеет два решения, то есть когда его дискриминант положителен:

$$D=4^2-4a>0 \Leftrightarrow a<4$$

Теперь, исключив среди найденных значений параметра те, при которых оба уравнения имеют хотя бы один общий корень, найдем нужные нам значения параметра.

Два уравнения имеют хотя бы одно общее решение, если система из этих уравнений имеет хотя бы одно решение. Эту систему будем решать как обычную систему с двумя уравнениями и двумя неизвестными:

$$\begin{cases} x^2-4x+a=0 \\ 5x^2-6ax+a^2=0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} a=-x^2+4x \\ 5x^2+6x(x^2-4x)+(x^2-4x)^2=0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} a=-x^2+4x \\ x^2(x^2-2x-3)=0 \end{cases}$$

Отсюда получаем корни $x=0$; $-1$; $3$, при которых получаем $a=0$; $-5$; $3$.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

$$a\in(-\infty;4)\setminus\{-5;0;3\}.$$

Ответ:

$$a\in(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;3)\cup(3;4)$$