Тип 15 № 20256

а) Воспользуемся формулами приведения и формулой косинуса двойного угла: $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$$ $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$

Тогда получим $$1-2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin x-1=0$$ $$2\sin^2 x-\sqrt{2}\sin x=0$$ $$\sin^2 x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=0$$ $$\sin x\left(\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0$$

$$\left[ \begin{aligned} \sin x = 0 \\ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right.$$

$$\left[ \begin{aligned} x = \pi k,\ k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z} \end{aligned} \right.$$

б) Отберем корни с помощью неравенств с учетом $k\in\mathbb{Z}$.

$$\frac{5\pi}{2}\leq \pi k\leq 4\pi \iff \frac{5}{2}\leq k\leq 4$$

Отсюда получаем $k=3,\ x=3\pi$ и $k=4,\ x=4\pi$.

$$\frac{5\pi}{2}\leq \frac{\pi}{4}+2\pi k\leq 4\pi \iff \frac{5}{2}\leq \frac{1}{4}+2k\leq 4$$ $$\frac{9}{8}\leq k\leq \frac{15}{8}$$

Отсюда получаем $k\in\varnothing$.

$$\frac{5\pi}{2}\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi k\leq 4\pi \iff \frac{5}{2}\leq \frac{3}{4}+2k\leq 4$$ $$\frac{7}{8}\leq k\leq \frac{13}{8}$$

Отсюда получаем $k=1,\ x=\frac{11\pi}{4}$.

Ответ: $$\text{а) } \pi k;\ \frac{\pi}{4}+2\pi k;\ \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$ $$\text{б) } \frac{11\pi}{4};\ 3\pi;\ 4\pi$$