В правильной шестиугольной пирамиде GABCDEF сторона основания BC=4, а боковое ребро GB=7. Точка H лежит на ребре CD, причем CH=1, точка I лежит на ребре GD, причем GI=4.
а) Докажите, что плоскость HIE перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объем пирамиды DEIH.
Решение:
а) Пусть - высота пирамиды . Пусть - точка пересечения и . Треугольники и подобны, так как (по свойству правильного шестиугольника). Следовательно, . Однако, . Тогда треугольники и подобны по двум пропорциональным сторонам и общему , а прямые и параллельны (по обратной теореме Фалеса), следовательно, прямая перпендикулярна плоскости . Таким образом, плоскость перпендикулярна плоскости основания (так как лежит в .
б) Объем пирамиды будем искать как найдем из треугольника по теореме Пифагора Тогда:
Ответ: .