Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.
а) Докажите, что AE параллельно BD.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.
Решение:
а) Проведём в точке C общую касательную к окружностям, и отметим на ней точку K так, как показано на картинке. Прямая CK — касательная к большей окружности, поэтому угол ACK между касательной и хордой AC большей окружности равен углу AEC, который опирается на эту хорду. Прямая CK является касательной и к меньшей окружности, поэтому по аналогичным причинам. Тогда
Углы и — соответственные углы, образованные прямыми и и секущей . Они равны, поэтому .
б) Из пункта а) нам известно, что , кроме того, . Значит, прямоугольные треугольники и подобны по двум углам. Тогда
Заметим, что прямой угол вписан в меньшую окружность и опирается на хорду . Значит, — диаметр меньшей окружности. Аналогично — диаметр большей окружности. Тогда и .
Нам нужно найти длину . Этот отрезок является катетом прямоугольного треугольника . Тогда по теореме Пифагора имеем:
По условию равнобедренный, поэтому . Тогда
Тогда получаем уравнение на :
Значит,
Ответ:
б)