Тип 15 № 20261

Преобразуем исходное уравнение:

$$\frac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} 9x^2-a^2=0 \\ x^2+8x+16-a^2 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2=9x^2 \\ a^2 \ne (x+4)^2 \end{cases}$$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0; a_0)$ принадлежит этому множеству $S$, то для исходной задачи это означает, что, если параметр $a$ принимает значение $a_0$, то $x_0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения для параметра $a$, при каждом из которых ровно две точки вида $(x_0; a_0)$, где $x_0 \in \mathbb{R}$, принадлежат множеству решений $S$, изображенному на плоскости $xOa$. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S$.

Построим на плоскости множество решений первого уравнения, затем найдем точки, удовлетворяющие условию $a^2=(x+4)^2$, и исключим их.

• Преобразуем первое уравнение: $$a^2=9x^2 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} a=3x \\ a=-3x \end{aligned} \right.$$ Значит, множество решений первого уравнения системы состоит из точек двух прямых $f_1(x)=3x$ и $f_2(x)=-3x$.
• Второе условие $a^2 \ne (x+4)^2$ системы задает всю плоскость, кроме точек, которые удовлетворяют условию $a^2=(x+4)^2$. Преобразуем данное уравнение: $$a^2=(x+4)^2 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} a=x+4 \\ a=-x-4 \end{aligned} \right.$$ Значит, уравнение $a^2=(x+4)^2$ задает две функции $g_1(x)=x+4$ и $g_2(x)=-x-4$ в плоскости $xOa$, графиками которых являются прямые. Тогда второе условие системы задает всю плоскость, кроме точек двух прямых $g_1(x)=x+4$ и $g_2(x)=-x-4$.

Чтобы построить графики, нам нужно найти точки пересечения указанных выше прямых.

• Если $f_1(x)$ и $g_1(x)$ пересекаются в какой-то точке $A=(x_1; a_1)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_1=3x_1 \\ a_1=x_1+4 \end{cases} \Rightarrow 3x_1=x_1+4$$ $$2x_1=4 \Leftrightarrow x_1=2 \Rightarrow a_1=6$$
• Если $f_1(x)$ и $g_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $B=(x_2; a_2)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_2=3x_2 \\ a_2=-x_2-4 \end{cases} \Rightarrow 3x_2=-x_2-4$$ $$4x_2=-4 \Leftrightarrow x_2=-1 \Rightarrow a_2=-3$$
• Если $f_2(x)$ и $g_1(x)$ пересекаются в какой-то точке $C=(x_3; a_3)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_3=-3x_3 \\ a_3=x_3+4 \end{cases} \Rightarrow -3x_3=x_3+4$$ $$-4x_3=4 \Leftrightarrow x_3=-1 \Rightarrow a_3=3$$
• Если $f_2(x)$ и $g_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $D=(x_4; a_4)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_4=-3x_4 \\ a_4=-x_4-4 \end{cases} \Rightarrow -3x_4=-x_4-4$$ $$-2x_4=-4 \Leftrightarrow x_4=2 \Rightarrow a_4=-6$$
• Если $f_1(x)$ и $f_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $O=(x_5; a_5)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_5=3x_5 \\ a_5=-3x_5 \end{cases} \Rightarrow 3x_5=-3x_5$$ $$x_5=0 \Rightarrow a_5=0$$
• Если $g_1(x)$ и $g_2(x)$ пересекаются в какой-то точке $S=(x_6; a_6)$, то выполнено следующее: $$\begin{cases} a_6=x_6+4 \\ a_6=-x_6-4 \end{cases} \Rightarrow x_6+4=-x_6-4$$ $$2x_6=-8 \Leftrightarrow x_6=-4 \Rightarrow a_6=0$$

Теперь можем построить графики:

Заметим, что горизонтальные прямые $a=6$, $a=3$, $a=0$, $a=-3$ и $a=-6$ имеют ровно одну точку пересечения с $S$. Все остальные горизонтальные прямые имеют ровно две точки пересечения с $S$. Значит, исходное уравнение имеет ровно два решения при

$$a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$$

Ответ:

$$a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$$