Тип 15 № 20275

а)

Обозначим плоскость $(KPQ)$ через $\alpha$. По условию плоскости $\alpha$ и $(ABC)$ параллельны, следовательно, они пересекают плоскость $(ASB)$ по параллельным прямым. Плоскость $(ABC)$ пересекает плоскость $(ASB)$ по прямой $AB$, плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $(ASB)$ по прямой $KQ$. Тогда получаем, что $KQ \parallel AB$.

По аналогичным соображениям $KP \parallel AC$.

Далее, $KQ \parallel AB$, причём $K$ — середина $AS$, и точка $Q$ — середина $SB$. Аналогично получаем, что точка $P$ — середина $SC$. Тогда $QP$ — средняя линия треугольника $BSC$, параллельная стороне $BC$. Следовательно, $PQ = \frac{1}{2}BC$.

Обозначим через $h$ длину высоты треугольника $SCB$, проведённой из вершины $S$. Так как $QP$ — средняя линия, то она делит эту высоту пополам. Следовательно, высота трапеции $BQPC$ равна $\frac{1}{2}h$. Тогда можем найти отношение площадей:

$$\frac{S_{BQPC}}{S_{BSC}} = \frac{\frac{1}{2}(PQ + BC)\cdot \frac{1}{2}h}{\frac{1}{2}BC \cdot h} = \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}BC + BC)}{BC} = \frac{3}{4}$$

б)

Расписав объём пирамиды $SABC$ через объёмы её составных частей, получим:

$$V_{SABC} = V_{SKPQ} + V_{KABC} + V_{KBQPC}$$

Откуда:

$$V_{KBQPC} = V_{SABC} - V_{SKPQ} - V_{KABC}$$

Найдём все эти объёмы.

Площадь правильного треугольника $ABC$ со стороной $AB = 16$:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB^2 \sin 60^\circ = 64 \sqrt{3}$$

Высота $SH = 10$, тогда объём пирамиды $SABC$:

$$V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 64\sqrt{3} \cdot 10 = \frac{640}{\sqrt{3}}$$

Теперь найдём стороны треугольника $KQP$:

$$KP = \frac{1}{2} AC,\quad KQ = \frac{1}{2} AB,\quad QP = \frac{1}{2} BC$$

Следовательно, треугольник $KQP$ подобен треугольнику $ABC$ по трём сторонам с коэффициентом $1:2$, тогда:

$$S_{KQP} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 S_{ABC} = 16\sqrt{3}$$

Пусть $H'$ — точка пересечения $SH$ с плоскостью $\alpha$. Так как $\alpha \parallel (ABC)$, следовательно, $SH'$ — высота пирамиды $SKQP$. Прямые пересечения плоскостей $(ASH)$ с параллельными плоскостями $(ABC)$ и $\alpha$ параллельны, поэтому $KH'$ — средняя линия и:

$$SH' = \frac{1}{2} SH = 5$$

Тогда объём пирамиды $SKPQ$:

$$V_{SKPQ} = \frac{1}{3} S_{KQP} \cdot SH' = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 5 = \frac{80}{\sqrt{3}}$$

Теперь найдём объём пирамиды $KABC$. Высота из вершины $K$ равна $HH' = 5$ (расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $(ABC)$):

$$V_{KABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot HH' = \frac{1}{3} \cdot 64\sqrt{3} \cdot 5 = \frac{320}{\sqrt{3}}$$

Остаётся:

$$V_{KBQPC} = V_{SABC} - V_{SKPQ} - V_{KABC} = \frac{640}{\sqrt{3}} - \frac{80}{\sqrt{3}} - \frac{320}{\sqrt{3}} = \frac{240}{\sqrt{3}} = 80\sqrt{3}$$

Ответ: б) $80\sqrt{3}$