Тип 15 № 20277

а) Рассмотрим треугольник $MAD$. Он равнобедренный, так как $AM = AD$ по условию. Значит, углы при его основании $MD$ равны. То есть

$$\angle AMD = \angle ADM.$$

Пусть угол параллелограмма $\angle A = \angle BAD = \alpha$. По условию $\alpha < 90^\circ$. Тогда $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$. Прямая $AD$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Тогда $\angle ADM = \angle BAD = \alpha$ как накрест лежащие углы.

Вернемся к треугольнику $MAD$ и найдем угол $MAD$ :

$$\angle MAD = 180^\circ - \angle AMD - \angle ADM = 180^\circ - 2\angle ADM = 180^\circ - 2\alpha$$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $BAM$ и докажем, что они равны. Сторона $AB$ у них общая. Стороны $AM = AD$ по условию. Стороны $AD = BC$, так как $ABCD$ — параллелограмм. Значит, $AM = BC$. В треугольнике $ABC$ угол между сторонами $AB$ и $BC$ равен $\angle BAC = 180^\circ - \alpha$. В треугольнике $BAM$ угол между сторонами $AB$ и $AM$ равен

$$\angle BAM = \angle BAD + \angle MAD = \alpha + 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - \alpha = \angle ABC$$

Значит, $\triangle ABC = \triangle BAM$ по первому признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому равны и третьи стороны. То есть $BM = AC$.

Далее рассмотрим $\triangle NCD$, проведем аналогичные рассуждения и докажем, что $\triangle NCB = \triangle ABC$. То есть получим, что $AC = BN$. Тогда

$$BM = AC = BN.$$

б) Найдём величину угла $MBN$ :

$$\angle MBN = \angle ABC - \angle ABM - \angle CBN = \angle ABC - (\angle ABM + \angle CBN)$$

В предыдущем пункте мы доказали, что

$$\triangle ABC = \triangle BAM = \triangle NCB$$

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому

$$\angle ABM = \angle BAC,\; \angle CBN = \angle BCA$$

Заметим, что

$$180^\circ - \alpha = \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) \Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = \alpha$$

Тогда

$$\angle MBN = \angle ABC - (\angle ABM + \angle CBN) = \angle ABC - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - \alpha - \alpha = 180^\circ - 2\alpha$$

По условию $AC = 4$. Значит, $BM = BN = AC = 4$. Рассмотрим $\triangle MBN$. По теореме косинусов имеем:

$$MN^2 = BM^2 + BN^2 - 2\cos(\angle MBN)\cdot BM \cdot BN$$

Найдем $\cos(\angle MBN)$ :

$$\cos(\angle MBN)=\cos(180^\circ-2\alpha)=-\cos(2\alpha)=-(1-2\sin^2(\alpha))=$$

$$=2\sin^2(\alpha)-1=\frac{2\cdot 64-289}{289}=-\frac{161}{289}$$

Тогда по теореме косинусов в треугольнике $MBN$ :

$$MN^2 = BM^2 + BN^2 - 2\cos(\angle MBN)\cdot BM \cdot BN =$$

$$=4^2+4^2-2\cdot\left(-\frac{161}{289}\right)\cdot 4\cdot 4=\frac{16\cdot 900}{289}\Rightarrow MN=\frac{120}{17}$$

Ответ:

б) $\frac{120}{17}$