Задание 15: Прочее — ЕГЭ по математике

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на $15\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $r$ , если общая сумма выплат составит 930 тысяч рублей?

Решение:

Кредит размером $S = 600$ тыс. рублей взят на 6 лет, при этом каждый раз в год сумма долга должна уменьшаться на $\frac{S}{6}$ . Составим таблицу, учитывая, что первые три раза сумма долга увеличивается на $r\%$ , а последние три — на $15\%$ . Значение в ячейке столбца «Выплата» можно вычислить двумя способами:

как разность значений в ячейках «Сумма долга после начисления $\%$ » и «Сумма долга после выплаты»;
как величину, на которую уменьшается долг (в данной задаче это $\frac{1}{6}S$ ) + процент от суммы долга на соответствующий месяц (в данной задаче это $\sigma \cdot \frac{r}{100}$ либо $\sigma \cdot \frac{15}{100}$ , где $\sigma$ — значение в столбце «Сумма долга до начисления $\%$ »).

Приравняем сумму выплат (сумма по столбцу «Выплата») к 930 тысячам, подставим $S = 600$ тыс. и найдем $r$ :

$S + \frac{r}{100}\left(S + \frac{5}{6}S + \frac{4}{6}S\right) + \frac{15}{100}\left(\frac{3}{6}S + \frac{2}{6}S + \frac{1}{6}S\right) = 930000$

$S + \frac{r}{100}\cdot \frac{6+5+4}{6}S + \frac{15}{100}\cdot \frac{3+2+1}{6}S = 930000$

$600S + 15rS + 90S = 930000 \cdot 600$

Отсюда $r$ равно

$r = \frac{930000 \cdot 600 - 690S}{15S} = \frac{930000 \cdot 600 - 690 \cdot 600000}{15 \cdot 600000} = 16$

Ответ: 16