Тип 15 № 20279

Преобразуем уравнение к виду

$$f(x)=a|x+1|+(1-a)|x-1|=-2$$

Рассмотрим случаи раскрытия модулей, чтобы привести функцию к кусочно-заданному виду:

Раскроем модули в зависимости от принадлежности $x$ к одному из трех промежутков:

$$x\geq 1 \;\Rightarrow\; f(x)=a\cdot(x+1)+(1-a)\cdot(x-1)=x+2a-1$$

$$x\in[-1;1) \;\Rightarrow\; f(x)=a\cdot(x+1)-(1-a)(x-1)=x\cdot(2a-1)+1$$

$$x<-1 \;\Rightarrow\; f(x)=-a\cdot(x+1)-(1-a)\cdot(x-1)=-x-2a+1$$

Резюмируя, получим

$$f(x)=a|x+1|+(1-a)|x-1|= \begin{cases} -x-2a+1, & x<-1 \\ (2a-1)x+1, & -1\leq x<1 \\ x+2a-1, & x\geq 1 \end{cases}$$

Найдем координаты точек излома функции $f$ :

$$f(1)=x+2a-1=1+2a-1=2a$$

$$f(-1)=(2a-1)x+1=(2a-1)(-1)+1=-2a+1+1=2-2a$$

Мы получили, что на первом промежутке функция линейно возрастающая, на третьем — линейно убывающая. На втором промежутке $[-1;1]$ функция также линейная. Более того, коэффициент при $x$ зависит от параметра $a$, поэтому заранее мы не знаем, убывает или возрастает наша функция на втором промежутке. Рассмотрим три возможных случая.

• Функция возрастает на отрезке $[-1;1]$, то есть

$$2a-1>0 \;\Leftrightarrow\; a>\frac12$$

В этом случае график примет следующий вид (оси изображены для удобства, мы не знаем, как график будет располагаться относительно них и не пользуемся этим):

Таким образом, уравнение будет иметь ровно два различных решения, если горизонтальная прямая $y=-2$ проходит выше левой точки излома графика, то есть

$$-2>-2a+2 \;\Leftrightarrow\; a>2$$

Пересекая с условием $a>\frac12$, получаем $a\in(2;+\infty)$.

• Функция убывает на отрезке $[-1;1]$, то есть

$$2a-1<0 \;\Leftrightarrow\; a<\frac12$$

В этом случае график примет следующий вид (оси изображены для удобства, мы не знаем, как график будет располагаться относительно них и не пользуемся этим):

Таким образом, уравнение будет иметь ровно два различных решения, если горизонтальная прямая $y=-2$ проходит выше правой точки излома графика, то есть

$$-2>2a \;\Leftrightarrow\; a<-1$$

Пересекая с условием $a<\frac12$, получаем $a\in(-\infty;-1)$.

• Коэффициент при $x$ зануляется, то есть

$$2a-1=0 \;\Leftrightarrow\; a=\frac12$$ Подставив это значение параметра $a$ в исходное уравнение, получим

$$\frac12|x+1|+\frac12|x-1|=-2$$

Левая часть этого уравнения неотрицательна, так как является суммой двух модулей, а правая отрицательна. Значит, при таком значении $a$ уравнение не имеет решений, и это значение $a$ нам не подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

$$a\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$$

Ответ:

$$a\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$$