Задание 15: Прочее — ЕГЭ по математике

В июле 2016 года планируется взять кредит на пять лет на сумму 1100 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 20 $\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в 2017, 2018 и 2019 годах сумма долга не изменяется;

– платежи в 2020 и в 2021 годах должны быть равны;

– к июлю 2021 года долг должен быть выплачен полностью.

На сколько рублей будут отличаться первый и последний платежи?

Решение:

Кредит взят в июле 2016 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты. Обозначим равные в 2020 и 2021 годах выплаты за $S_1$ тыс. рублей.

По условию в 2017, 2018 и 2019 годах долг остается равным S = 1100 тыс. рублей. Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что:

значение в столбце «Выплата» за 2017, 2018 и 2019 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты»;
сумма долга после выплаты за 2020 и 2021 годы будет равна разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

По условию задачи долг был погашен полностью, значит, $1{,}2\,(1{,}2S-S_1)-S_1=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{36}{25}S=\frac{11}{5}S_1 \;\Longleftrightarrow\; S_1=\frac{36}{55}S$

Первый платеж был равен $0{,}2S$ , а последний был равен $\frac{36}{55}S$ , значит, их разность равна $\frac{36}{55}S-0{,}2S= \left(\frac{36}{55}-\frac{11}{55}\right)S= \frac{25}{55}S= \frac{5}{11}\cdot S= \frac{5}{11}\cdot 1100=500$

Ответ: 500 тысяч рублей