Тип 15 № 20296

а) Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $BF$ — его биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника

$$AB : BC = AF : FC.$$

Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию $AB = BD$, то есть треугольник $ABD$ равнобедренный. Поскольку $BE$ — его биссектриса, а значит высота и медиана, то $BE \perp AD$. По условию $CK \perp AD$, значит, $BE \parallel CK$. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках

$$AF : FC = AE : EK.$$ Тогда имеем:

$$AB : BC = AF : FC = AE : EK.$$

б) Пусть $S$ — площадь треугольника $ABE$. Заметим, что $BE$ — медиана треугольника $ABD$, значит, площади треугольников $ABE$ и $BDE$ равны, то есть

$$S_{ABE} = S_{BDE} = S.$$

По условию $BD : DC = 5 : 2$, значит,

$$\frac{AF}{FC} = \frac{AB}{BC} = \frac{BD}{BC} = \frac{5}{7},$$ следовательно,

$$\frac{AF}{AC} = \frac{5}{12}.$$

Запишем теорему Менелая для треугольника $BCF$ и секущей $AD$:

$$\frac{FE}{EB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CA}{AF} = 1$$

$$\frac{FE}{EB}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{12}{5} = 1$$

$$\frac{FE}{EB} = \frac{1}{6}$$

Значит,

$$\frac{BE}{BF} = \frac{6}{7}.$$

Тогда можем найти площадь треугольника $BCF$:

$$\frac{S_{BCF}}{S_{BDE}} = \frac{BF\cdot BC}{BE\cdot BD} = \frac{BF}{BE}\cdot\frac{BC}{BD} = \frac{7}{6}\cdot\frac{7}{5} = \frac{49}{30},$$ следовательно,

$$S_{BCF} = \frac{49}{30}S.$$

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника $CDEF$:

$$S_{CDEF} = S_{BCF} - S = \frac{49}{30}S - S = \frac{19}{30}S.$$

Тогда искомое отношение площадей равно

$$\frac{S_{ABE}}{S_{CDEF}} = \frac{S}{\frac{19}{30}S} = \frac{30}{19}.$$

Ответ:

$$\text{б) } \frac{30}{19}$$