Тип 15 № 20297

Данное уравнение равносильно совокупности $$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y_1 = 2x^2 - (a + 6)x - (a^2 - 6a) = 0\\ x \geq 0 \end{array} \right.\\[1.2ex] \left\{ \begin{array}{l} y_2 = 2x^2 - (a - 12)x - (a^2 - 6a) = 0\\ x < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$$

Полученная совокупность может иметь максимум 4 решения, следовательно, найдем те значения параметра, при которых она имеет ровно 4 решения, тогда все другие значения параметра будут искомыми. Чтобы совокупность имела 4 решения, каждая из систем должна иметь по два различных решения, следовательно, каждое квадратное уравнение $y_1 = 0$ и $y_2 = 0$ должно иметь по два корня, удовлетворяющих условию $x \geq 0$ или $x < 0$ соответственно. Во-первых, дискриминанты квадратных уравнений должны быть положительны: $$\left\{ \begin{array}{l} D_1 = (a + 6)^2 + 8(a^2 - 6a) = 9(a - 2)^2 > 0\\ D_2 = (a - 12)^2 + 8(a^2 - 6a) = 9(a - 4)^2 > 0 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \neq 2\\ a \neq 4 \end{array} \right.$$

Во-вторых, чтобы парабола $y = y_1(x)$ пересекала абсциссы в двух неотрицательных точках, абсцисса вершины параболы должна быть положительна и значение функции в 0 должно быть неотрицательно. Чтобы парабола $y = y_2(x)$ пересекала абсциссы в двух точках меньше нуля, значение функции в 0 должно быть положительно, а абсцисса вершины параболы должна быть отрицательна. Таким образом, получаем: $$\left\{ \begin{array}{l} y_1(0) \geq 0\\ \dfrac{a + 6}{4} > 0\\ y_2(0) > 0\\ \dfrac{a - 12}{4} < 0 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} -(a^2 - 6a) \geq 0\\ a + 6 > 0\\ -(a^2 - 6a) > 0\\ a - 12 < 0 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} a > -6\\ a(a - 6) < 0\\ a < 12 \end{array} \right.$$

$$0 < a < 6$$

Таким образом, 4 решения будет при $a \in (0;6)\backslash\{2;4\}$. Следовательно, меньше 4 решений будет при $$a \in (-\infty;0] \cup \{2\} \cup \{4\} \cup [6;+\infty).$$

Ответ: $$a \in (-\infty;0] \cup \{2\} \cup \{4\} \cup [6;+\infty)$$