Задание 15: Прочее — ЕГЭ по математике

Имеются три коробки: в первой — 97 камней, во второй — 104 камня, в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Может ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 89, в третьей — 15?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 201 камень?

в) Известно, что в первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Решение:

а) Покажем, как переместить ровно три камня из второй коробки в третью: $(97; 104; 0) \to (96; 103; 2) \to (95; 102; 4) \to (97; 101; 3)$ За 5 раз такими операциями мы можем переместить 15 камней из второй коробки в третью.

б) Рассмотрим разность чисел камней в третьей и первой коробках. Пусть в первой сейчас $a$ камней, в третьей $c$ камней. Тогда разность равна $c-a$ . Если мы переложим два камня в первую коробку, то разность будет $(c-1) - (a+2) = c-a-3.$ Если мы переложим два камня во вторую коробку, то разность будет равна $(c-1) - (a-1) = c-a.$ Если мы переложим два камня в третью коробку, то разность будет равна $(c+2) - (a-1) = c-a+3.$ Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 3, либо остается прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 3. Тогда если в третьей коробке после некоторых операций могло оказаться все $97+104+0=201$ камень, то в конце разность должна была равна $201-0=201$ . Изначально разность была равна $0-97=-97$ , значит, она изменилась на $201-(-97)=298$ . Однако 298 не делится на 3, значит, в третьей коробке не мог оказаться 201 камень.

в) Аналогично предыдущему пункту можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 3. Тогда посмотрим на начальную разность между второй и первой коробками. Она равна $104-97=7$ . По условию в первой коробке оказался 1 камень. Найдем наименьшее количество $b>0$ камней, которое могло оказаться во второй коробке. Так как разность изменяется на число, кратное 3, то имеем: $b-1=7+3k,\; k\in Z$ $b=8+3k \qquad \underset{b>0}{\Longrightarrow} \qquad b\geq 2$ Тогда в третьей коробке может быть не более $201-1-2=198$ камней.

Покажем, как можно добиться ровно 198 камней. Сначала научимся перемещать по 2 камня в третью коробку из каждой другой: $(97; 104; 0) \to (96; 103; 2) \to (95; 102; 4) \to (97; 101; 3) \to$ $\to (96; 100; 5) \to (95; 99; 7) \to (94; 101; 6)$

Заметим, что для того, чтобы можно было проделать такие операции, в первых двух коробках должно быть хотя бы 3 и 5 камней. Тогда мы можем делать такие операции, пока не дойдем до ситуации $(1; 8; 192)$ . Теперь будем перекладывать по 2 камня из второй коробки в третью: $(1; 8; 192) \to (0; 7; 194) \to (2; 6; 193) \to$ $\to (1; 5; 195) \to (0; 4; 197) \to (2; 3; 196) \to$ $\to (1; 2; 198).$

Ответ: а) Да, может

б) Нет, не может

в) 198