Тип 15 № 20311

а) Преобразуем уравнение:

$$2\sin^3 x+\sqrt2\cos^2 x=2\sin x$$

$$2\sin x(\sin^2 x-1)+\sqrt2\cos^2 x=0$$

$$-2\sin x\cos^2 x+\sqrt2\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\,(-2\sin x+\sqrt2)=0$$

Отсюда получаем

$$\begin{cases} \cos x=0;\\ \sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}, \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\\ x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, \end{cases} \qquad \text{где } k\in\mathbb Z$$

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

Таким образом, подходят корни —

$$-\frac{5\pi}{2};\ -\frac{7\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2}.$$

Ответ:

а) $\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\ \dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$

б) $-\dfrac{5\pi}{2};\ -\dfrac{7\pi}{4};\ -\dfrac{3\pi}{2}$