Задание 15: Прочее — ЕГЭ по математике

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ . Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP : PB = 1 : 3$ , а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$ . Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$ , перпендикулярную отрезку $PQ$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$ .

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$ , считая от точки $P$ , если известно, что $AB = AA_1$ , $AB : BC = 2 : 7$ .

Решение:

а) Проведем $CH \perp AB$ . Так как $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$ , то $H$ — середина $AB$ . Так как $AP : PB = 1 : 3$ , то $AP = x$ , $PB = 3x$ . Тогда

$AB = 4x, \; HB = 2x,$ следовательно,

$HP = x.$ Следовательно, $P$ — середина $AH$ .

Проведем $NQ \parallel AA_1$ , тогда $N$ — середина $AC$ . Следовательно, так как

$CN : NA = HP : PA = 1 : 1,$ то по обратной теореме Фалеса $NP \parallel CH$ .

Следовательно, $NP \perp AB$ .

Так как $PQ \perp \alpha$ , то $PQ$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в $\alpha$ . Заметим, что $MN$ — средняя линия в $\triangle ABC$ , параллельная $AB$ . Следовательно,

$MN \perp NP.$ Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная $PQ \perp MN$ . Следовательно, $MN \in \alpha$ . А так как $AB \parallel MN$ , то по признаку $AB \parallel \alpha$ . Что и требовалось доказать.

б) Так как

$AB = 4x,$ то

$NQ = AA_1 = 4x, \quad AC = BC = 14x.$ Следовательно, по теореме Пифагора из $\triangle ANP$ :

$NP = 4x\sqrt{3}$

Проведем $NK \perp PQ$ . Тогда $NK \in \alpha$ . Следовательно, $K$ — точка, в которой $PQ$ пересекает $\alpha$ . Нужно найти $PK : KQ$ . По свойству прямоугольного треугольника высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные квадратам катетов:

$\frac{PK}{KQ} = \frac{NP^2}{NQ^2} = \frac{(4x\sqrt{3})^2}{(4x)^2} = \frac{3}{1}$

Ответ:

б) $3:1$