Тип 15 № 20313

Запишем ОДЗ неравенства: $$\left\{ \begin{aligned} &(x-4)(x^2-2x-8)>0\\ &(x-4)^2>0 \end{aligned} \right.$$

$$\left\{ \begin{aligned} &(x-4)(x-4)(x+2)>0\\ &x-4\ne0 \end{aligned} \right.$$

$$\left\{ \begin{aligned} &x>-2\\ &x-4\ne0 \end{aligned} \right.$$

$$x\in(-2;4)\cup(4;+\infty)$$

На ОДЗ преобразуем логарифмы: $$\log_{25}\bigl((x-4)(x^2-2x-8)\bigr)=0,5\log_5\bigl((x-4)^2(x+2)\bigr)=0,5\log_5(x-4)^2+0,5\log_5(x+2).$$

Тогда исходное неравенство примет вид: $$0,5\log_5(x-4)^2+0,5\log_5(x+2)+1\ge0,5\log_5(x-4)^2$$ $$0,5\log_5(x+2)\ge-1$$ $$\log_5(x+2)\ge-2$$ $$\log_5(x+2)\ge\log_5 0,04$$ $$x+2\ge0,04$$ $$x\ge-1,96$$

С учётом ОДЗ получаем, что $x\in[-1,96;4)\cup(4;+\infty)$.

Ответ: $$[-1,96;4)\cup(4;+\infty)$$