Тип 15 № 20316

Система определена при $y-x+8\ge 0$. На этой области определения первое уравнение системы равносильно совокупности

$$\left[ \begin{array}{l} y=x-8\\ y=1-\dfrac{8}{x}\quad (\text{при }x=0\text{ получается неверное равенство }0=8) \end{array} \right.$$

В координатах $xOy$ получаем прямую и гиперболу в области $y\ge x-8$. Второе уравнение задает прямую с угловым коэффициентом $2$, у которой параметр $a$ отвечает за сдвиг вверх-вниз по вертикальной оси. Точка пересечения прямых $y=2x+a$ и $y=x-8$ при каждом фиксированном $a$ является решением системы. Поэтому ровно 2 решения система будет иметь, если прямая $y=2x+a$ касается одной из веток гиперболы, либо пересекает правую ветку гиперболы один раз в области выше прямой $y=x-8$, а второй раз в области ниже этой прямой $y=x-8$. Рассмотрим ключевые положения и посчитаем значения параметра в каждом из них.

Положения 1 и 2. Прямая $y=2x+a$ касается гиперболы $y=1-\dfrac{8}{x}$, если уравнение

$$2x+a=1-\dfrac{8}{x}$$ имеет ровно одно решение. Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант $(a-1)^2-4\cdot 2\cdot 8$ равен нулю:

$$a-1=\pm 8 \iff a\in\{-7;9\}$$

Гипербола $y=1-\dfrac{8}{x}$ пересекается с прямой $y=x-8$ при

$$x-8=1-\dfrac{8}{x}$$

$$x^2-8x=x-8$$

$$x^2-9x+8=0$$

Получаем $x=1,\ y=-7$ и $x=8,\ y=0$. Найдем значения параметра, при которых прямая $y=2x+a$ проходит через эти точки. Положение 3: $-7=2+a \iff a=-9$. При этом значении параметра решением системы является точка $(1;-7)$ и вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y=2x+a$, которая находится в пределах области выше прямой $y=x-8$. Всего будет два решения системы, так что это значение параметра нам подходит. Положение 4: $0=16+a \iff a=-16$. При этом значении параметра решением системы является точка $(8;0)$, а вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y=2x+a$ находится в пределах области ниже прямой $y=x-8$. Всего будет одно решение системы, так что это значение параметра нам не подходит. Тогда окончательно имеем $a\in(-16;-9]\cup\{-7\}\cup\{9\}$.

Ответ: $a\in(-16;-9]\cup\{-7\}\cup\{9\}$