Тип 15 № 20330

По формулам приведения имеем:

$$\cos^2(\pi-x)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=0$$

$$\cos^2x+\cos x=0$$

$$\begin{cases} \cos x=0\\ \cos x=-1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z\\ x=\pi+2\pi m,\; m\in\mathbb Z \end{cases}$$

б) Отберем корни на отрезке

$$\left[-\frac{5\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right]$$ с помощью неравенства.

Для первой серии решений:

$$-\frac{5\pi}{3}\le \frac{\pi}{2}+\pi n\le -\frac{\pi}{2}$$

$$-\frac{13}{6}\le n\le -1$$

$$n=-2;\,-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{3\pi}{2};\,-\frac{\pi}{2}$$

Для второй серии решений:

$$-\frac{5\pi}{3}\le \pi+2\pi m\le -\frac{\pi}{2}$$

$$-\frac{4}{3}\le m\le -\frac{3}{4}$$

$$m=-1 \;\Rightarrow\; x=-\pi$$

Следовательно, на отрезке

$$\left[-\frac{5\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right]$$ лежат корни

$$-\frac{3\pi}{2};\;-\pi;\;-\frac{\pi}{2}.$$

Ответ:

а)

$$\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;\quad \pi+2\pi m,\; m\in\mathbb Z$$

б)

$$-\frac{3\pi}{2};\;-\pi;\;-\frac{\pi}{2}$$