Задание 15: Прочее — ЕГЭ по математике

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25 $\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 65 500 рублей больше суммы, взятой кредита?

Решение:

Составим таблицу, обозначив за $S$ руб. сумму кредита, за $x$ руб. — ежегодный платёж, а за $k=1+\dfrac{25}{100}=\dfrac54$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \begin{array}{c} \text{Долг в руб. до}\\ \text{начисления \%} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Долг в руб. после}\\ \text{начисления \%} \end{array} & \text{Платёж в руб.} \\ \hline 1 & S & kS & x \\ \hline 2 & kS-x & k^2S-kx & x \\ \hline 3 & k^2S-kx-x & k^3S-k^2x-kx & x \\ \hline \end{array}$

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

$k^3S-k^2x-kx=x$

$x\left(k^2+k+1\right)=k^3S$

$x\frac{k^3-1}{k-1}=k^3S$

$x=Sk^3\frac{k-1}{k^3-1}$

$3x=3Sk^3\frac{k-1}{k^3-1}$

Мы знаем, что $k=\dfrac54$ . Преобразуем правую часть:

$3Sk^3\frac{k-1}{k^3-1} = 3S\cdot\frac{5^3}{4^3}\cdot \frac{\frac14}{\left(\frac54\right)^3-1} = 3S\cdot\frac{5^3}{4^3}\cdot\frac{4^2}{5^3-4^3} = \frac{375}{244}S$

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, тогда $3x=S+65500$ . Подставим это в выражение для $3x$ :

$S+65500=\frac{375}{244}S$

$65500=\frac{131}{244}S$

$S=\frac{65500\cdot244}{131}$

$S=122000$

Ответ: $122000$