Тип 15 № 20334

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$ . Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что $\angle ANB = 2\angle ABC$ .

б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB$ , если известно, что $AC = 12$ и $AB = 52$ .

Решение:

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB$ . Также центр $O$ лежит на диаметре $BC$ .

Рассмотрим четырехугольник $ANBO$ . В нем $\angle OAN=90^\circ=\angle OBN$ , так как радиусы $OA$ и $OB$ , проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $180^\circ$ , следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $\angle ANO=\angle ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Таким образом,

$\angle ANB=2\angle ANO=2\angle ABO=2\angle ABC.$

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем:

$\tg \angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}.$

Пусть $H$ — точка пересечения $AB$ и $NO$ . Заметим, что $NA=NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является высотой и медианой, то есть $\angle AHN=90^\circ$ и $AH=BH=26$ .

Тогда в прямоугольном треугольнике $AHN$ имеем:

$\frac{AH}{NH}=\tg \angle ANH=\tg \angle ABC=\frac{3}{13}$

$NH=\frac{13AH}{3}=\frac{13\cdot 26}{3}=\frac{338}{3}.$

Ответ:

б) $\dfrac{338}{3}$