Тип 15 № 20335

При $a\le 0$ первое уравнение системы имеет не более одного решения, значит, и вся система тоже имеет не более одного решения. Тогда решим задачу графически при $a>0$. Исследуем первое уравнение:

$$|y| + |x| = a \begin{cases} y = -|x| + a\\ y \ge 0\\ y = |x| - a\\ y < 0 \end{cases}$$

Таким образом, графиком этого уравнения является квадрат $ABCD$ с вершинами в точках $A(-a;0)$, $B(0;a)$, $C(a;0)$, $D(0;-a)$.

Действительно, все стороны четырехугольника равны, значит, это ромб. Сторона $AB$ лежит на прямой $y=x+a$, сторона $BC$ лежит на прямой $y=-x+a$, угол между этими прямыми равен $90^\circ$, следовательно, $ABCD$ — квадрат.

Нужно найти такие $a$, при которых квадрат имеет две общие точки с графиком корня $y=\sqrt{x+9}$.

Пусть $a_i$ — значение параметра, соответствующее положению $(i)$. Тогда нам подходят

$$a\in (a_1;a_2)\cup\{a_3\}.$$

Положение $(1)$: вершина $B(0;a_1)$ находится в точке пересечения графика $y=\sqrt{x+9}$ с осью ординат. Значит,

$$a_1=\sqrt{0+9}$$

$$a_1=3$$

Положение $(2)$: вершина $A(-a_2;0)$ находится в точке пересечения графика $y=\sqrt{x+9}$ с осью абсцисс. Значит,

$$0=\sqrt{-a_2+9}$$

$$a_2=9$$

Положение $(3)$: сторона $AB$ касается графика $y=\sqrt{x+9}$. Сторона $AB$ задается уравнением $y=x+a$ при $-a\le x\le 0$. Прямая касается графика корня, если система

$$\begin{cases} \sqrt{x+9}=x+a_3\\ \dfrac{1}{2\sqrt{x+9}}=1 \end{cases}$$ имеет решения. Значит,

$$\begin{cases} \sqrt{x+9}=x+a_3\\ \sqrt{x+9}=\dfrac12 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x+a_3=\dfrac12\\ x+9=\dfrac14 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x+a_3=\dfrac12\\ x=-\dfrac{35}{4} \end{cases}$$

$$\begin{cases} a_3=\dfrac{37}{4}\\ x=-\dfrac{35}{4} \end{cases}$$

Тогда

$$y=x+a_3=-\dfrac{35}{4}+\dfrac{37}{4}=\dfrac12.$$

Точка $\left(-\dfrac{35}{4};\dfrac12\right)$ действительно лежит на отрезке $AB$, так как её координаты обращают уравнение $y=x+a_3$ в верное равенство и $-a_3\le x\le 0$. Также она лежит на графике функции $y=\sqrt{x+9}$, так как её координаты обращают это уравнение в верное равенство.

Следовательно, нам подходят значения параметра

$$a\in (3;9)\cup\left\{\dfrac{37}{4}\right\}$$

Ответ:

$$a\in (3;9)\cup\left\{\dfrac{37}{4}\right\}$$