Тип 15 № 20336

а) Если в порту всего 10 контейнеров массой 20 тонн и 5 контейнеров массой 80 тонн, причём только 3 контейнера массой 80 тонн заполнены сахарным песком, то количество контейнеров с сахарным песком составляет $$3 : (10 + 5)\cdot 100\% = 20\%$$ от общего количества контейнеров.

Масса контейнеров с сахарным песком равна: $$3\cdot 80 = 240$$ тонн, масса всех контейнеров равна $$10\cdot 20 + 5\cdot 80 = 600$$ тонн, а значит, масса контейнеров с сахарным песком составляет $$240 : 600\cdot 100\% = 40\%$$ от общей массы всех контейнеров.

б) Предположим, что в порту было $x$ контейнеров массой 20 тонн и $y$ контейнеров массой 80 тонн, среди которых с сахарным песком было $a$ контейнеров массой 20 тонн и $b$ контейнеров массой 80 тонн. Если масса контейнеров с сахарным песком составляла 80% от общей массы контейнеров, то должна выполняться система уравнений: $$\begin{cases} a + b = 0{,}2(x + y)\\ 20a + 80b = 0{,}8(20x + 80y) \end{cases}$$

$$\begin{cases} 5a + 5b = x + y\\ 20a + 80b = 16x + 64y \end{cases}$$

$$\begin{cases} 5a + 5b = x + y\\ 20a + 80b - (80a + 80b) = 16x + 64y - (16x + 16y) \end{cases}$$

$$\begin{cases} 5a + 5b = x + y\\ -60a = 48y \end{cases}$$

Поскольку $a \ge 0$ и $y \ge b \ge 0$, то равенство $-60a = 48y$ выполняется только при $a = y = b = 0$. Из первого уравнения системы следует, что $x = 0$.

Получили: $a = b = y = x = 0$, что невозможно.

Следовательно, масса контейнеров с сахарным песком не может составить 80% от общей массы контейнеров.

в) Масса контейнеров с сахарным песком будет составлять наибольшую долю от массы всех контейнеров в случае, когда масса каждого контейнера с сахарным песком равна 80 тонн. Тогда $a = 0$, значит, $5b = x + y$. Нам нужно найти наибольшее значение величины $$n = \frac{20a + 80b}{20x + 80y} = \frac{4b}{x + 4y} = \frac{4b}{5b + 3y}.$$

Наибольшее значение дроби достигается при наименьшей величине знаменателя. Мы знаем, что $y \ge b$, поэтому $$n_{\max} = \frac{4b}{5b + 3b} = \frac{4b}{8b} = 0{,}5$$

Значит, масса контейнеров с сахарным песком может составлять не более 50% от общей массы контейнеров.

Пусть в порту $b = 1$ контейнер массой в 80 тонн, который заполнен сахарным песком и $x = 5b - y = 5b - b = 4$ контейнера массой в 20 тонн, которые заполнены не сахарным песком. Тогда масса контейнеров с сахарным песком составляет $$\frac{80}{80 + 4\cdot 20}\cdot 100\% = \frac{80}{160}\cdot 100\% = 50\%$$ от общей массы всех контейнеров.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 50%