Тип 15 № 20351

Выражение в числителе дроби представляет собой куб разности:

$$27^x-3\cdot 9^{x+1}+3^{x+5}-729=3^{3x}-27\cdot 3^{2x}+243\cdot 3^x-729=(3^x-9)^3,$$ а выражение в знаменателе — полный квадрат:

$$50x^2+10x+0{,}5=\frac12(100x^2+20x+1)=\frac12(10x+1)^2.$$

Решим неравенство методом интервалов и рационализации, для этого применим теорему о знаках: при положительных $a$ выражения $(a^b-a^c)$ и $(a-1)(b-c)$ имеют одинаковые знаки. Получим:

$$\frac{(3^x-9)^3}{(10x+1)^2}\le 0 \Leftrightarrow \frac{(3^x-3^2)^3}{(10x+1)^2}\le 0 \Leftrightarrow \frac{(x-2)^3}{(10x+1)^2}\le 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x<-\dfrac{1}{10},\\ -\dfrac{1}{10}<x\le 2. \end{cases}$$

Ответ:

$$\left(-\infty;-\frac{1}{10}\right)\cup\left(-\frac{1}{10};2\right].$$