Задание 15: Прочее — ЕГЭ по математике

В треугольнике ABC проведены высота AH и медиана AM, угол ACB равен 30°. Точка H лежит на отрезке BM. В треугольнике ACM проведена высота MQ. Прямые MQ и AH пересекаются в точке F. Известно, что AM  — биссектриса угла HAC.

а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б)  Найдите площадь треугольника CFM, если AB  =  10.

Решение:

Решение. а) Прямоугольные треугольники $AQM$ и $AHM$ равны, поскольку имеют общую гипотенузу и равные острые углы. Следовательно, $HM = MQ$ как соответственные элементы равных фигур. В прямоугольном треугольнике $MQC$ один из острых углов равен $30^\circ$ , значит, катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Не ограничивая общности, положим $MQ = x$ , а $MC = 2x$ . По свойству биссектрисы $\frac{AH}{AC}=\frac{x}{2x}=\frac12,$ откуда $AH = AQ$ и $AC = 2AQ$ . Далее, $AQ = QC$ , а из равных прямоугольных треугольников $AQM$ и $CQM$ находим: $AM = MC$ . Получаем, что отрезок $AM$ — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине $A$ треугольника $ABC$ расположен прямой угол.

б) В треугольнике $ABC$ катет $AB$ лежит против угла в $30^\circ$ , а потому вдвое меньше гипотенузы, откуда $BC = 20$ и $MC = 10$ . Квадрат катета в прямоугольном треугольнике равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Значит, $BH\cdot BC = AB^2$ , откуда $BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{100}{20}=5.$

Следовательно, $HM = 10 - 5 = 5$ . Заметим, что треугольники $FHM$ и $CQM$ равны, поскольку $HM = QM$ и углы $QMC$ и $HMF$ равны как вертикальные. Отсюда $FM = MC = 10$ , а по теореме Пифагора в треугольнике $FHM$ : $HF=\sqrt{FM^2-HM^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt3.$

Итак, искомая площадь равна $S_{CFM}=\frac12 FH\cdot CM=\frac12\cdot 5\sqrt3\cdot 10=25\sqrt3.$

Ответ: б) $25\sqrt3$ .