Задание 15: Прочее — ЕГЭ по математике

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а)  Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?

б)  Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?

в)  Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $n^2$ .

Решение:

Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разности любых двух чисел кратны 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному — 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.

а) Число 563 при делении на 28 дает остаток 3, а число 1417 — остаток 17, поэтому они не подходят.

б) Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4, а квадраты нечетных представимы в виде $(4x \pm 1)^2 = 16x^2 \pm 8x + 1$ . Следовательно, $n^2$ не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 563.

в) Нужно, чтобы $n^2$ и $n$ давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n^2 - n = n(n-1)$ было кратно 28. Число 1 является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа $1,\qquad 29 = 28 \cdot 1 + 1,\qquad 57 = 28 \cdot 2 + 1,\qquad 85 = 28 \cdot 3 + 1 \qquad \ldots,$ дающие при делении на 28 остаток 1.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 1.