Тип 15 № 20386

Так как ОДЗ параметра множество $(-\infty;1)\cup(1;\infty)$, то при $a = 1$ уравнение (2) не имеет решений.

Замечание. Некоторые авторы считают: уравнение не имеет смысла при тех значениях параметра, которые не принадлежит ОДЗ параметра.

Преобразуем уравнение (2), если $a \ne 1$

$$ax + 2 = \frac{2}{a - 1}x + a \Leftrightarrow \frac{(a + 1)(a - 2)}{a - 1}\cdot x = a - 2 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow (a + 1)(a - 2)x = (a - 2)(a - 1). \quad (2.1)$$

Коэффициент при $x$ в уравнении (2.1) равен нулю.

1. Пусть $(a + 1)(a - 2) = 0$.

Если $a = -1$, то уравнение (2.1), а значит и уравнение (2), не имеет решений, так как уравнение (2.1) принимает вид $0\cdot x = -3$.

Если $a = 2$, то уравнение (2.1), а значит и уравнение (2), имеет бесконечное множество решений, так как уравнение (2.1) принимает вид $0\cdot x = 0$.

1. Пусть $(a + 1)(a - 2) \ne 0$.

Если $a \notin \{-1;1;2\}$, то уравнение (2) равносильно уравнению $(a + 1)x = (a - 1)$, решение которого $x = \frac{a - 1}{a + 1}$. В этом случае уравнение (2) имеет единственное решение $x = \frac{a - 1}{a + 1}$.

Ответ: $x = \frac{a - 1}{a + 1}$.