Тип 15 № 20417

Покажем, что число $n^5 - n$ делится на 2, на 3 и на 5.

Делимость на 2

Числа $n$ и $n^5$ имеют одинаковую чётность:

• если $n$ чётное, то и $n^5$ чётное;
• если $n$ нечётное, то и $n^5$ нечётное.

Значит, разность $n^5 - n$ чётна, то есть делится на 2.

Делимость на 3

При делении на 3 число $n$ может давать остаток 0, 1 или 2.

• Если остаток 0, то и $n^5 - n$ делится на 3.
• Если остаток 1, то $n^5$ при делении на 3 даёт остаток 1, значит, разность даёт остаток 0.
• Если остаток 2, то $2^5 = 32$, а 32 при делении на 3 даёт остаток 2, значит, разность снова даёт остаток 0.

Следовательно, $n^5 - n$ делится на 3.

Делимость на 5

При делении на 5 число $n$ может давать остаток 0, 1, 2, 3 или 4.

Проверим пятые степени этих остатков:

• $0^5 = 0$,
• $1^5 = 1$,
• $2^5 = 32$, а 32 при делении на 5 даёт остаток 2,
• $3^5 = 243$, а 243 при делении на 5 даёт остаток 3,
• $4^5 = 1024$, а 1024 при делении на 5 даёт остаток 4.

Во всех случаях $n^5$ и $n$ дают одинаковый остаток при делении на 5.

Значит, $n^5 - n$ делится на 5.

Итак, число делится на 2, на 3 и на 5. Поскольку 2, 3 и 5 взаимно просты, число делится на

$$2 \times 3 \times 5 = 30.$$

Ответ: $n^5 - n$ делится на 30 при любом натуральном $n$.