Тип 15 № 20422

Сначала найдём остаток от деления $2^{202}$ на 7.

Степени двойки при делении на 7 дают цикл:

• $2^1$ даёт остаток 2,
• $2^2$ даёт остаток 4,
• $2^3$ даёт остаток 1.

Дальше цикл повторяется. Его длина равна 3.

Так как

$$202 = 3 \times 67 + 1,$$ то $2^{202}$ даёт такой же остаток, как $2^1$, то есть остаток 2.

Теперь найдём остаток от деления $3^{202}$ на 7.

Степени тройки при делении на 7:

• $3^1$ даёт остаток 3,
• $3^2$ даёт остаток 2,
• $3^3$ даёт остаток 6,
• $3^4$ даёт остаток 4,
• $3^5$ даёт остаток 5,
• $3^6$ даёт остаток 1.

Длина цикла равна 6.

Так как

$$202 = 6 \times 33 + 4,$$ то $3^{202}$ даёт такой же остаток, как $3^4$, то есть остаток 4.

Теперь складываем остатки:

$$2 + 4 = 6.$$

Ответ: остаток равен 6.