Тип 15 № 20484

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = a + 3$$

$$x_1x_2 = 2a$$

Чтобы оба корня были положительными, нужно:

• $x_1x_2 > 0$
• $x_1 + x_2 > 0$

Получаем:

$$2a > 0 \Rightarrow a > 0$$

$$a + 3 > 0 \Rightarrow a > -3$$

Остаётся пересечение условий:

$$a > 0$$

Проверим, что корни действительно существуют:

$$D = (a + 3)^2 - 8a = a^2 - 2a + 9 = (a - 1)^2 + 8 > 0$$

Значит, при $a > 0$ уравнение имеет два различных действительных корня, и оба положительны.

Ответ: $a > 0$.