Тип 15 № 20491

ОДЗ:

$$x \ne 1,\quad x \ne -3$$

Решение:

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{(x+3)^2-(x-1)^2}{(x-1)(x+3)}=3$$

Раскроем скобки:

$$(x+3)^2=x^2+6x+9$$

$$(x-1)^2=x^2-2x+1$$

Тогда:

$$(x+3)^2-(x-1)^2=8x+8$$

Получаем:

$$\frac{8x+8}{(x-1)(x+3)}=3$$

Умножим на $(x-1)(x+3)$:

$$8x+8=3(x-1)(x+3)$$

$$8x+8=3(x^2+2x-3)$$

$$8x+8=3x^2+6x-9$$

$$3x^2-2x-17=0$$

Дискриминант:

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-17)=4+204=208$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{208}}{6}=\frac{2\pm4\sqrt{13}}{6}=\frac{1\pm2\sqrt{13}}{3}$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$$x=\frac{1+2\sqrt{13}}{3},\qquad x=\frac{1-2\sqrt{13}}{3}$$