Тип 15 № 20492

ОДЗ:

$$x \ne 0,\quad x \ne 1,\quad x \ne 2,\quad x \ne 3$$

Решение:

Сначала приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{3}{x}$$

Раскроем скобки:

$$(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$$

$$(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$$

$$(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$$

Складываем:

$$x^2-5x+6+x^2-4x+3+x^2-3x+2=3x^2-12x+11$$

Получаем:

$$\frac{3x^2-12x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{3}{x}$$

Перемножим крест-накрест:

$$x(3x^2-12x+11)=3(x-1)(x-2)(x-3)$$

Сначала раскроем:

$$(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$$

$$(x^2-3x+2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6$$

Тогда:

$$3x^3-12x^2+11x=3x^3-18x^2+33x-18$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$6x^2-22x+18=0$$

Разделим на 2:

$$3x^2-11x+9=0$$

Дискриминант:

$$D=(-11)^2-4\cdot 3\cdot 9=121-108=13$$

$$x=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$$

Оба корня не нарушают ОДЗ.

Ответ:

$$x=\frac{11+\sqrt{13}}{6},\qquad x=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$$