Тип 15 № 20517

Так как свободный член равен 1, а коэффициенты симметричны, это возвратное уравнение.

Заметим, что $x = 0$ не является корнем, поэтому можно разделить на $x^2$:

$$x^2 - 5x + 6 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$

Сгруппируем:

$$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0$$

Введём замену:

$$t = x + \frac{1}{x}$$

Тогда:

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$$

Подставим:

$$(t^2 - 2) - 5t + 6 = 0$$

$$t^2 - 5t + 4 = 0$$

Разложим:

$$(t - 1)(t - 4) = 0$$

Значит,

$$t = 1 \quad \text{или} \quad t = 4$$

1. $t = 1$

$$x + \frac{1}{x} = 1$$

Умножим на $x$:

$$x^2 + 1 = x$$

$$x^2 - x + 1 = 0$$

$$D = 1 - 4 = -3 < 0$$

Действительных корней нет.

1. $t = 4$

$$x + \frac{1}{x} = 4$$

Умножим на $x$:

$$x^2 + 1 = 4x$$

$$x^2 - 4x + 1 = 0$$

Найдём корни:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

Ответ:

$$x = 2 - \sqrt{3},\ 2 + \sqrt{3}$$