Тип 13 № 20573

Преобразуем уравнение, перенеся все члены в левую часть:

$$2\cos^3 x - 2\cos x - \sqrt3\sin^2 x = 0.$$

Вынесем $2\cos x$ из первых двух слагаемых:

$$2\cos x(\cos^2 x - 1) - \sqrt3\sin^2 x = 0.$$

Так как $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$, получаем:

$$-2\cos x\sin^2 x - \sqrt3\sin^2 x = 0.$$

Вынесем $\sin^2 x$ за скобки:

$$\sin^2 x(-2\cos x - \sqrt3) = 0.$$

Отсюда:

$$\sin^2 x = 0 \quad \text{или} \quad -2\cos x - \sqrt3 = 0.$$

$$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt3}{2}.$$

$$x = \pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$:

Для $x = \pi k$: подходят $k = -3, -2$, то есть $x = -3\pi, \; -2\pi$.

Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -1$ даёт $x = -\frac{7\pi}{6}$, что не входит в отрезок; при $k = -2$ даёт $x = -\frac{19\pi}{6} < -3\pi$. Других подходящих нет.

Для $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -1$ даёт $x = -\frac{17\pi}{6}$, что лежит между $-3\pi$ и $-\frac{3\pi}{2}$; при $k = 0$ даёт $x = -\frac{5\pi}{6} > -\frac{3\pi}{2}$; при $k = -2$ даёт $x < -3\pi$.

Таким образом, корни, принадлежащие отрезку:

$$-3\pi; \quad -\frac{17\pi}{6}; \quad -2\pi.$$

Ответ: а) $\pi k; \ \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi; \ -\frac{17\pi}{6}; \ -2\pi$.