Решение:
а) Перенесём все члены в одну сторону:
2 sin 3 x = 2 cos 2 x + 2 sin x 2\sin^3 x = \sqrt{2}\cos^2x + 2\sin x 2 sin 3 x = 2 cos 2 x + 2 sin x cos 2 x \cos^2x cos 2 x sin x \sin x sin x 2 sin 3 x − 2 ( 1 − sin 2 x ) − 2 sin x = 0 2\sin^3 x - \sqrt{2}(1 - \sin^2x) - 2\sin x = 0 2 sin 3 x − 2 ( 1 − sin 2 x ) − 2 sin x = 0 2 sin 3 x + 2 sin 2 x − 2 sin x − 2 = 0 ⇔ 2 sin 2 x ( 2 sin x + 1 ) − 2 ( 2 sin x + 1 ) = 0 ⇔ 2\sin^3 x + \sqrt{2}\sin^2x - 2\sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt2\sin^2 x(\sqrt2\sin x+ 1) - \sqrt2(\sqrt2\sin x + 1) = 0 \Leftrightarrow 2 sin 3 x + 2 sin 2 x − 2 sin x − 2 = 0 ⇔ 2 sin 2 x ( 2 sin x + 1 ) − 2 ( 2 sin x + 1 ) = 0 ⇔ ⇔ ( 2 sin x + 1 ) ( 2 sin 2 x − 2 ) ⇔ \Leftrightarrow (\sqrt2\sin x + 1)(\sqrt2\sin^2x - \sqrt2) \Leftrightarrow ⇔ ( 2 sin x + 1 ) ( 2 sin 2 x − 2 ) ⇔
⇔ [ sin x = 1 sin x = − 1 sin x = − 2 2 ⇒ [ x = π 2 + 2 π k x = − π 2 + 2 π k x = − π 4 + 2 π k x = − 3 π 4 + 2 π k , k ∈ Z ⇔ [ x = π 2 + π k x = − π 4 + 2 π k x = − 3 π 4 + 2 π k , k ∈ Z \Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
&\sin x = 1 \\
&\sin x = -1 \\
&\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{aligned}
\right. \Rightarrow
\left[
\begin{aligned}
&x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\
&x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\
&x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \\
&x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k
\end{aligned}
\right., \quad k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
&x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\
&x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \\
&x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k
\end{aligned}
\right., \quad k \in \mathbb{Z} ⇔ sin x = 1 sin x = − 1 sin x = − 2 2 ⇒ x = 2 π + 2 π k x = − 2 π + 2 π k x = − 4 π + 2 π k x = − 4 3 π + 2 π k , k ∈ Z ⇔ x = 2 π + π k x = − 4 π + 2 π k x = − 4 3 π + 2 π k , k ∈ Z
б) Найдём корни на отрезке [ − 4 π ; − 5 π 2 ] \left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right] [ − 4 π ; − 2 5 π ]
− 3 π 4 − 2 π = − 11 π 4 -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4} − 4 3 π − 2 π = − 4 11 π
Корни, принадлежащие отрезку:
− 7 π 2 , − 11 π 4 , − 5 π 2 -\frac{7\pi}{2}, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{5\pi}{2} − 2 7 π , − 4 11 π , − 2 5 π
Ответ: а) π 2 + π k ; − π 4 + 2 π k ; − 3 π 4 + 2 π k , k ∈ Z ; \frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; 2 π + π k ; − 4 π + 2 π k ; − 4 3 π + 2 π k , k ∈ Z ; − 7 π 2 , − 11 π 4 , − 5 π 2 -\frac{7\pi}{2}, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{5\pi}{2} − 2 7 π , − 4 11 π , − 2 5 π
