Тип 14 № 20586

Решение:

Так как $KLMN$ — квадрат, то $KL \parallel MN$. Прямая $MN$ лежит в плоскости $BCD$, значит, прямая $KL$ параллельна этой плоскости. В плоскости $ACD$ прямая $KL$ параллельна линии пересечения плоскостей $ACD$ и $BCD$, то есть прямой $CD$. Следовательно, $$KL \parallel CD.$$ Тогда треугольники $AKL$ и $ACD$ подобны (по двум углам), и $$\frac{KL}{CD} = \frac{AK}{AC} \quad\Longrightarrow\quad KL = \frac{AK}{AC} \cdot CD. \tag{1}$$

Аналогично, поскольку $KN \parallel LM$, а $LM$ лежит в плоскости $ADB$ и параллельна $AB$ (объяснение аналогично: $LM \parallel AB$, так как $LM$ параллельна плоскости $ABC$), получаем $$KN \parallel AB.$$ Тогда треугольники $KNC$ и $ABC$ подобны, откуда $$\frac{KN}{AB} = \frac{KC}{AC} \quad\Longrightarrow\quad KN = \frac{KC}{AC} \cdot AB. \tag{2}$$

В квадрате $KLMN$ противоположные стороны равны: $KN = KL$. Приравнивая (1) и (2), имеем $$\frac{KC}{AC} \cdot AB = \frac{AK}{AC} \cdot CD.$$ Сокращая на $AC$, получаем $$KC \cdot AB = AK \cdot CD \quad\Longrightarrow\quad \frac{AB}{CD} = \frac{AK}{KC}.$$ По условию $AK:KC = 2:3$, следовательно, $$\frac{AB}{CD} = \frac{2}{3}.$$

Таким образом, $AB : CD = 2 : 3$, что и требовалось доказать.

\subsubsection*{б)}

Пусть $h$ — высота тетраэдра $ABCD$, проведённая из вершины $A$.
Точка $K$ лежит на ребре $AC$, причём $KC : AC = 3 : 5$ (так как $AK:KC = 2:3$).
Значит, высота пирамиды $KBCD$ (с вершиной $K$) равна $\dfrac{3}{5}h$.
Тогда её объём: $$V_{KBCD} = \frac{3}{5} V_{ABCD} = \frac{3}{5} \cdot 25 = 15.$$

Теперь рассмотрим пирамиды $KBCD$ и $CKMN$. У них общая вершина $K$, поэтому их объёмы относятся как площади оснований — треугольников $BCD$ и $CMN$.

Найдём отношение площадей этих треугольников.

В треугольнике $BCD$:

• точка $N$ лежит на $BC$, причём $BN:NC = 2:3$, значит $NC = \frac{3}{5}BC$;
• точка $M$ лежит на $BD$, причём $BM:MD = 2:3$, значит $BM = \frac{2}{5}BD$.

Из подобия треугольников $BNM$ и $BCD$ получаем: $$\frac{NM}{CD} = \frac{BN}{BC} = \frac{2}{5}.$$

Также высоты треугольников $CMN$ и $BCD$, проведённые из точек $C$ и $B$ соответственно, относятся как $$\frac{CN}{BC} = \frac{3}{5}.$$

Следовательно, $$\frac{S_{CMN}}{S_{BCD}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{25}.$$

Значит, $$V_{CKMN} = \frac{6}{25} \cdot V_{KBCD} = \frac{6}{25} \cdot 15 = \frac{18}{5} = 3{,}6.$$

$$\boxed{V_{CKMN} = 3{,}6}$$