Тип 16 № 20588

Решение

Пусть:

Сумма кредита: $S$ рублей

Ежегодная выплата: $x$ рублей

Годовой коэффициент увеличения долга: $k = 1{,}2$ (20%)

Срок кредита: 4 года (2024–2027)

Общая сумма выплат: $311\,040$ рублей.

После четырёх лет погашения долг становится равным нулю: $$k^4S - x(k^3 + k^2 + k + 1) = 0.$$ Отсюда $$S = \frac{x(k^3 + k^2 + k + 1)}{k^4} = \frac{x(k^4 - 1)}{k^4(k - 1)}.$$

Подстановка значений:

При $k = 1{,}2 = \dfrac{6}{5}$: $$S = \frac{x\left(\left(\frac{6}{5}\right)^4 - 1\right)}{\left(\frac{6}{5}\right)^4 \cdot \frac{1}{5}} = \frac{x\left(\frac{1296}{625} - 1\right)}{\frac{1296}{625} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{x \cdot \frac{671}{625}}{\frac{1296}{3125}} = x \cdot \frac{671}{625} \cdot \frac{3125}{1296}.$$ Упростим: $$\frac{671}{625} \cdot \frac{3125}{1296} = \frac{671 \cdot 5}{1296} = \frac{3355}{1296}.$$ Итак, $$S = \frac{3355}{1296}x.$$

Расчёт суммы кредита:

Общая сумма выплат: $$4x = 311\,040 \quad\Rightarrow\quad x = 77\,760 \text{ рублей}.$$ Тогда $$S = \frac{3355}{1296} \cdot 77\,760.$$ Сократим: $77\,760 : 1296 = 60$. Получаем: $$S = 3355 \cdot 60 = 201\,300 \text{ рублей}.$$

Ответ: $201\,300$ рублей.