Тип 19 № 20831

При $x\leq0$ исходное уравнение принимает вид: $$\begin{aligned} a^2-4x^2-8x-4=0 &\Longleftrightarrow a^2-(2x+2)^2=0\\ &\Longleftrightarrow (a-2x-2)(a+2x+2)=0. \end{aligned}$$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости $Oxa$ пару лучей: луч $l_1$ с началом в точке $(0;2)$, совпадающий с прямой

$$a=2x+2$$ при $x\leq0$, и луч $l_2$ с началом в точке $(0;-2)$, совпадающий с прямой

$$a=-2x-2$$ при $x\leq0$.

Лучи $l_1$ и $l_3$ пересекаются в точке $(-1;0)$.

При $x\geq0$ исходное уравнение принимает вид: $$\begin{aligned} a^2-4x^2+8x-4=0 &\Longleftrightarrow a^2-(2x-2)^2=0\\ &\Longleftrightarrow (a-2x+2)(a+2x-2)=0. \end{aligned}$$ Получившееся уравнение задаёт на плоскости $Oxa$ пару лучей: луч $l_3$ с началом в точке $(0;2)$, совпадающий с прямой

$$a=2-2x$$ при $x\geq0$, и луч $l_4$ с началом в точке $(0;-2)$, совпадающий с прямой

$$a=2x-2$$ при $x\geq0$.

Лучи $l_3$ и $l_4$ пересекаются в точке $(1;0)$.

Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой $a=c$ с объединением лучей $l_1$, $l_2$, $l_3$ и $l_4$.

Каждый из лучей $l_1$ и $l_3$ пересекается с прямой $a=c$ в одной точке при $c\leq2$ и не пересекается при $c>2$.

Каждый из лучей $l_2$ и $l_4$ пересекается с прямой $a=c$ в одной точке при $c\geq-2$ и не пересекается при $c<-2$.

Следовательно, при

$$a<-2 \quad\text{и}\quad a>2$$ исходное уравнение имеет ровно два различных корня.

При $c=-2$ и при $c=2$ прямая $a=c$ проходит через общую точку лучей $l_2$ и $l_4$, $l_1$ и $l_3$ соответственно.

Значит, при

$$a=-2 \quad\text{и}\quad a=2$$ исходное уравнение имеет ровно три корня.

При $c=0$ прямая $a=c$ проходит через точки пересечения лучей $l_3$ и $l_4$, $l_1$ и $l_2$.

Значит, при $a=0$ исходное уравнение имеет ровно два корня.

Следовательно, при

$$-2<a<0 \quad\text{и}\quad 0<a<2$$ исходное уравнение имеет ровно четыре корня.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

$$a<-2,\qquad a=0,\qquad a>2.$$

Ответ: $$a<-2,\qquad a=0,\qquad a>2.$$