Метод XOA

Данное уравнение равносильно совокупности: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} a < -7x\\ x^2 + a^2 + x - 7a + 7x + a = 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} a \geq -7x\\ x^2 + a^2 + x - 7a - 7x - a = 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a < -7x\\ (x + 4)^2 + (a - 3)^2 = 5^2 \end{cases}\\ &\begin{cases} a \geq -7x\\ (x - 3)^2 + (a - 4)^2 = 5^2 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Получаем, что в системе координат $XOA$ данное уравнение задаёт две неполные окружности, центры которых расположены в точках $(-4; 3), (3; 4)$.

Найдём точки, в которых окружности пересекаются вместе с прямой $a = -7x$. Для этого подставим $x = -\frac{a}{7}$ например в первое уравнение окружности: $$\frac{a^2}{49} - \frac{8a}{7} + 16 + a^2 - 6a + 9 = 25 \Leftrightarrow\frac{50a^2}{49} - \frac{50a}{7} = 0 \Leftrightarrow a^2 - 7a = 0 \Leftrightarrow a = 0 \text{ или } a = 7$$ Подставляя полученные значения в уравнения прямой $a = -7x$, получаем точки: $(0; 0), (-1; 7)$.

Каждое значение параметра в данной системе координат представляет собой горизонтальную прямую. Каждая точка пересечения такой горизонтальной прямой с окружностью дает ровно 1 решение для исходного уравнения.

Построим графики функций и отметим ключевые случаи:

Рассмотрим случаи последовательно. Начиная с $a = -1$, где горизонтальная прямая касается правой окружности снизу и до момента, пока прямая не дойдёт до первой общей точки окружностей, мы будем иметь более двух решений.

Затем мы будем иметь ровно 2 решения до тех пор, пока горизонтальная прямая не пересечёт вторую общую точку окружностей. Мы будем получать более двух решений снова, пока не дойдём до момента, когда горизонтальная прямая коснётся левой окружности сверху.

Далее мы будем получать не более двух решений. В итоге получаем значения параметра:

$$a \in [-1; 0] \cup [7; 8]$$

Ответ: $[-1; 0] \cup [7; 8]$

Данное уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} 4|x| - x - 3 - a = 0\\ x^2 - x - a \neq0 \end{cases}$$ Рассмотрим первое уравнение системы отдельно: $$4|x| - x - 3 - a = 0$$ Рассмотрим 2 случая раскрытия модуля: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq 0\\ 4x - x - 3 - a = 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} x < 0\\ -4x - x - 3 - a = 0 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Получаем систему: $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq 0\\ 4x - x - 3 - a = 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} x < 0\\ -4x - x - 3 - a = 0 \end{cases} \end{aligned}\right.\\ x^2 - x - a \neq0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq 0\\ a = 3x - 3 \end{cases} \\ &\begin{cases} x < 0\\ a = -5x - 3 \end{cases} \end{aligned}\right.\\ a \neq x^2 - x \end{cases}$$ Графиком уравнения $a = x^2 - x$ в системе координат $XOA$ является парабола, с вершиной в точке $(0,5; -0,25)$. Парабола $a = x(x - 1)$ пересекает ось $X$ в точках $0, 1;$. Построим графики уравнений в системе координат $XOA$:

Каждое значение параметра в данной системе координат представляет собой горизонтальную прямую. Каждая точка пересечения такой горизонтальной прямой с графиком функции $a = 3x - 3$ или $a = -5x - 3$ дает ровно 1 решение для системы, а следовательно и для исходного уравнения.

Когда горизонтальная прямая пересекает параболу в её общих точках с прямыми $a = 3x - 3$ или $a = -5x - 3$, исходное уравнение будет иметь ровно 1 решение. Найдём точки пересечения параболы с прямыми:

$$x^2 - x = 3x - 3 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1 \text { или } x = 3$$ $$a = 3 - 3 = 0, a = 9 - 3 = 6$$ Получаем точки: $(1; 0), (3; 6)$ $$x^2 - x = -5x - 3 \Leftrightarrow x^2 + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -1 \text { или } x = -3$$ $$a = 5 - 3 = 2, a = 15 - 3 = 12$$ Получаем точки: $(-1; 2), (-3; 12)$

Рассмотрим ключевые случаи:

В итоге, при $a \in (-3; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; 12) \cup (12; +\infty)$ исходное уравнение имеем ровно два различных решения.

Ответ: $(-3; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; 12) \cup (12; +\infty)$

Исходное уравнение равносильно совокупности: $$\left[\begin{aligned} &a + 4x - x^2 - 1 = 0\\ &a + 1 - |x - 2| = 0 \end{aligned}\right.$$ Пусть $a = f(x) = -4x + x^2 + 1$ и $a = g(x) = |x-2| - 1$.

Построим графики данных функций в осях $xOa$:

В данной системе координат значение параметра представляет собой горизонтальную прямую-анализатор. Каждое пересечение такой прямой с графиком функции даёт ровно 1 решение исходного уравнения. Значит, нам подходят только те случаи, при которых прямая-анализатор пересекает графики в 3 точках.

На рисунке отмечен единственный возможный случай зелёной горизонтальной прямой $a = -1$, так как только при значении параметра $a = -1$ мы будем получать ровно 3 пересечения с графиками функций. В остальных случаях (при смещении вверх или вниз от значения $a = -1$) мы будем получать $0, 1, 2, 4$ решений, что нам не подходит.

Ответ: $-1$

Преобразуем исходное уравнение. Разложим числитель на множители: $$D = (3a - 1)^2 - 4\cdot(2a^2 - 2) = 9a^2 -6a + 1- 8a^2 + 8 = a^2- 6a +9 = (a-3)^2$$ $$x_1 = \frac{3a - 1 + a - 3}{2} = 2a - 2, x_2 = \frac{3a - 1 - a + 3}{2} =a + 1$$

Тогда, исходное уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} & a = \frac{1}{2}x - 1\\ & a = x - 1 \end{aligned}\right.\\ x^2 -3x - 4 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} & a = f(x) =\frac{1}{2}x - 1\\ & a = g(x) = x - 1 \end{aligned}\right.\\ x \neq 4; -1 \end{cases}$$

Построим графики данных функций в осях $xOa$ и отметим ключевые случаи:

В данной системе координат значение параметра представляет собой горизонтальную прямую-анализатор. Каждое пересечение такой прямой с графиком функции даёт ровно 1 решение исходного уравнения. Значит, нам подходят только те случаи, при которых прямая-анализатор пересекает графики в 1 точке.

Когда прямые $a = x - 1$ и $a = \frac{1}{2}x + 1$ пересекают вертикальные прямые $x = -1$ или $x= 4$, то исходное уравнение имеет либо 1, либо 0 решений.

От $a \in (-\infty; [1])$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[1]$ исходное уравнение будет иметь ровно 1 решение.

При $a \in ([1]; [2])$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[2]$ исходное уравнение будет иметь ровно 1 решение.

При $a \in ([2]; [3])$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[3]$ исходное уравнение не будет решений.

При $a \in ([3]; +\infty)$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[1]$ прямая $a = x - 1$ пересекает прямую $x = -1$ в точке $(-1; -2) \Rightarrow a = -2$

В случае $[1]$ прямая $a = \frac{1}{2}x + 1$ пересекает прямую $x = -1$ в точке $(-1; 0.5) \Rightarrow a = \frac{1}{2}$

Ответ: $\{-2; \tfrac{1}{2}\}$

Переформулируем условие задачи. Нам нужно, чтобы пересечение решений неравенств было нулевым.

То есть система $$\begin{cases} (x^2 - a)(a - 2x - 8) > 0\\ x^2 \leq 4 \end{cases}$$ не должна иметь решения.

Преобразуем систему: $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a < x^2\\ a > 2x + 8 \end{cases}\\ &\begin{cases} a > x^2\\ a < 2x + 8 \end{cases} \end{aligned}\right.\\ -2\leq x \leq 2 \end{cases}$$

Построим множества решений системы в координатах $xOa$.

Каждая точка множества $S$, которое ограничено кривыми $a = 2x + 8, a = x^2, x = 2$, является решением системы неравенств.

В данной системе координат значение параметра представляет собой горизонтальную прямую-анализатор. Каждое пересечение такой прямой с любой точкой множества $S$ даёт решение системы. Значит, нам подходят только те случаи, при которых прямая-анализатор не имеет общих точек с множеством $S$.

То есть, при $a \in (-\infty; (A)] \cup [(B); +\infty)$ система уравнений не имеет решений.

Ордината (а значит и значение параметра $a$) в точке $A$ равна $0$.

Найдём координаты точки $B$. Точка $B$ – точка пересечения прямой $a = 2x + 8$ и прямой $x = 2$.

Найдём значение параметра (ординату точки $B$): $$a = 2\cdot2 + 8 = 12$$

Значит, итоговый ответ: $$a \in (-\infty; 0] \cup [12; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [12; +\infty)$