Тип 14 № 20889

Решение. а) Решим уравнение:

$$\begin{aligned} \cos 2x-\sqrt{2}\sin(x+\pi)-1=0 &\Longleftrightarrow 1-2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x-1=0 \\ &\Longleftrightarrow \sin x\bigl(\sqrt{2}-2\sin x\bigr)=0 \\ &\Longleftrightarrow \begin{cases} \sin x=0,\ \\ \displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases} \end{aligned}$$

Следовательно,

$$\begin{cases} x=\pi k,\ \displaystyle x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ \\ \displaystyle x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, \end{cases} \qquad k\in\mathbb Z.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

$$\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right].$$

Получаем:

$$-\frac{13\pi}{4},\qquad -3\pi,\qquad -2\pi.$$

Ответ:

$$а) \left\{ \pi k;\ \frac{\pi}{4}+2\pi k;\ \frac{3\pi}{4}+2\pi k \mathrel{\big|} k\in\mathbb Z \right\}; \qquad б)-\frac{13\pi}{4},\ -3\pi,\ -2\pi.$$