Решение:
Сделаем замену t=x+x1 и проанализируем её:
x+x1=t⇔x2−tx+1=0
Найдём, сколько решений имеет данное уравнение относительно x:
D=t2−4
-
При t∈(−∞;−2)∪(2;+∞) уравнение имеет 2 различных решения.
-
При t=±2 уравнение имеет 1 решение (корень кратности 2).
-
При t∈(−2;2) уравнение не имеет решений.
Исходное уравнение в переменной t имеет вид:
at2+5t−9a+15=0
Рассмотрим подходящие нам случаи:
-
Исходное уравнение линейное (a=0).
-
Исходное уравнение квадратное и имеет ровно один корень t, который даёт ровно 2 решения для x.
Рассмотрим случаи по отдельности:
- a=0
5t+15=0⇔t=−3
Так как t=−3<−2, это значение даёт ровно 2 решения для x. Значит, a=0 подходит.
- a=0
Найдём дискриминант квадратного уравнения:
D=25−4a(−9a+15)=25+36a2−60a=(6a−5)2
Корни уравнения:
t1=2a−5−(6a−5)=2a−5−6a+5=2a−6a=−3
t2=2a−5+(6a−5)=2a−5+6a−5=2a6a−10=a3a−5
Корень t1=−3 всегда даёт ровно 2 решения для x (так как −3<−2). Чтобы исходное уравнение имело ровно 2 различных корня, корень t2 не должен давать дополнительных решений. Это возможно в двух случаях:
2.1 t2=t1=−3 (корни совпадают).
2.2 t2∈(−2;2) (не даёт решений для x).
Случай 2.1: t2=−3
a3a−5=−3⇔3a−5=−3a⇔6a=5⇔a=65
Случай 2.2: t2∈(−2;2)
−2<a3a−5<2
Решим систему неравенств:
{a3a−5>−2,a3a−5<2⇔{a3a−5+2a>0,a3a−5−2a<0⇔{a5a−5>0,aa−5<0⇔{a5(a−1)>0,aa−5<0
Решим первое неравенство: a5(a−1)>0. Методом интервалов получаем a∈(−∞;0)∪(1;+∞).
Решим второе неравенство: aa−5<0. Методом интервалов получаем a∈(0;5).
Пересекая решения:
a∈(1;5)
Объединяя все подходящие значения из случаев 1, 2.1 и 2.2, получаем:
a∈{0;65}∪(1;5)
Ответ: a∈{0;65}∪(1;5)