Тригонометрические уравнения с аркфункциями

а) Уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} 13\sin^2x - 5\sin x = 0 \\ 13\cos x + 12 \neq 0 \end{cases}$$

Найдём корни числителя: $$13\sin^2x - 5\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x(13\sin x - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = \frac{5}{13} \end{aligned} \right.$$

1. Для $\sin x = 0$: $$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

2. Для $\sin x = \frac{5}{13}$: $$x = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Получаем совокупность: $$\left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \\ &x = \pi - \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$ Учитывая условие $\cos x \neq -\frac{12}{13}$, получаем:

$$\left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -2\pi, \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) - 2\pi$$

Ответ: а) $\pi k; \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi, -2\pi, \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) - 2\pi$

а) Уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} 26\cos^2x - 23\cos x + 5 = 0 \\ 13\sin x - 12 \neq 0 \end{cases}$$

Найдём корни числителя: $$26\cos^2x - 23\cos x + 5 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x$: $$26t^2 - 23t + 5 = 0$$ $$D = 529 - 520 = 9$$ $$t = \frac{23 \pm 3}{52} \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &t = \frac{1}{2} \\ &t = \frac{5}{13} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\cos x = \frac{1}{2} \\ &\cos x = \frac{5}{13} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \pm \arccos \frac{5}{13} + 2\pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$

Проверим ограничение: $$\sin x \neq \frac{12}{13}$$ $$\cos x \neq \pm\sqrt{1 - \sin^2x} \neq \pm\sqrt{1 - \frac{144}{169}} \neq \pm \frac{5}{13}$$

Таким образом, получаем совокупность решений: $$\left[ \begin{aligned} &x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = - \arccos \frac{5}{13} + 2\pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$ при условии $\sin x \neq \frac{12}{13}$.

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}, \quad x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}, \quad x = -2\pi - \arccos\frac{5}{13}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-2\pi - \arccos\frac{5}{13}, -\frac{7\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}$$

Ответ: а) $x =\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; -\arccos\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $-2\pi - \arccos\left(\frac{5}{13}\right), -\frac{7\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}$