Тип 26 № 12437

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Так как движение тел поступательное, то к ним применима модель материальной точки.
3. Для материальных точек в инерциальной системе отсчета за малый промежуток времени применим сохранения импульса.

Решение:
Перед решением задачи введём систему координат $Oxy$, центр которой совпадает с точкой старта первого шарика.
Тогда так как действие силы сопротивления воздуха мала и тела движется только в поле силы тяжести, то запишем кинематические уравнения движения, описывающие их движение.
$$y_1=v_0t\sin{\alpha}-\frac{gt^2}{2}$$ $$v_{y1}=v_0\sin{\alpha}-gt$$ $$v_{y2}=-gt$$ Теперь запишем закон сохранения импульса в проекции на вертикальную ось $Oy$ (их сумма будет равна нулю так как после соударения скорости шариков были направлены горизонтально): $$p_1+p_2=0\Rightarrow mv_{y1}+mv_{y2}=0\Rightarrow v_{y1}=-v_{y2}\Rightarrow v_0\sin{\alpha}-gt=gt$$ Тогда если выразить из получившегося уравнения время, получим время до столкновения шариков:
$$t_1=\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}$$ И поставить это время в выражения для высоты полёта первого шарика $y_1$ получим высоту на которой произошло столкновение:
$$h=y_1(t_1)=v_0\sin{\alpha}\cdot\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}-\frac{g}{2}\cdot\left(\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}\right)^2=\frac{3v_0^2\sin^2{\alpha}}{8g}$$ И так как проекция вертикальной скорости в момент после соударения равна нулю, то модем рассматривать движение каждого шара, как движение тела брошенного с высоты $h$ имея только горизонтальную скорость, в этом случае время падения вычисляется по формуле: $$t_2=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{3v_0^2\sin^2{\alpha}}{4g\cdot g}}=\frac{\sqrt{3}\cdot v_0\sin{\alpha}}{2g}$$ Искомое время $\tau$, есть ни что иное как время полёта шариков, которое составит:
$$\tau=t_1+t_2=\frac{(1+\sqrt{3})\cdot v_0\sin{\alpha}}{2g}$$