Законы сохранения

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Так как движение грузов поступательное, то к ним применима модель материальной точки.
3. В ИСО для описание материальной точки можем применять второй закон Ньютона.
4. Так как нить легкая и скользит по блоку без трения, то можно считать $T_1=T_2=T$.
5. Так как нить нерастяжима, то выполняется равенсто для ускорений тел $a_1=a_2=a$.

Решение:
Перед решением изобразим все силы, действующие на тела:

Теперь запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов в проекции на вертикальную ось $Oy$:
Для левого груза:
$$Oy: \quad T-m_1g=m_1a$$ Для левого груза:
$$Oy: \quad T-m_2g=-m_2a$$ Таким образмо получили систему из двух уравнений, реша которой. получим: $$a=\frac{g(m_2-m_1)}{m_2+m_1}$$ Теперь воспользуемся формулой пути для равноускоренного движения из состояния покоя: $$S=\frac{at^2}{2}\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2S}{a}}=\sqrt{\frac{2S(m_2+m_1)}{g(m_2-m_1)}}=\sqrt{\frac{2\cdot0.1\cdot(11+7)}{10\cdot(11-7)}}=0.3\,\text{с}$$

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Снаряд и его части движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки.
3. Для материальных точек в инерциальной системе отсчета за малый промежуток времени применим сохранения импульса.
4. За малый промежуток взаимодействия частей снаряда можно считать, что потенциальная энергия тел не изменилась.

Решение:
Для начала запишем закон сохранения импульса: $$M \vec{v} = \frac{M}{3} \vec{u}_1 + \frac{2M}{3} \vec{u}_2$$ И в проекции на ось $Ox$: $$Ox: \quad 3v = u_1 - 2 u_2$$ $$\Downarrow$$ $$u_2 = \frac{u_1 - 3v}{2} = \frac{900 - 3 \cdot 250}{2} = 75~\text{м/с}$$ Найдём начальную и конечную кинетическую энергию: $$E_1 = \frac{Mv^2}{2}, \quad E_2 = \frac{M}{3}\cdot\frac{u_1^2}{2} + \frac{2M}{ 3}\cdot\frac{u_1^2}{2}$$ Тогда по закону изменения кинетической энергии $$\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{M}{2}\cdot\left( \frac{\left( u_1^2 + 2 u_2^2 \right)}{3} -v^2\right)= \frac{9}{2} \left( \frac{900^2 + 2 \cdot 75^2}{3} - 250^2 \right) = 950625\,\text{Дж}$$

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Движение шарика в трубке и доски по столу поступательное, поэтому эти тела можно описывать моделью материальной точки.
3. На шарик и доску не действуют силы трения и сопротивления воздуха, поэтому систему можно считать замкнутой, для которой выполняется закон сохранения импульсов тел.
4. Внешние силы на данную систему не действуют, сила реакции опоры, действующие на шарик и доску, работу не совершает, так как перпендикулярна перемещению. Тогда для данной системы можем применить закон сохранения энергии.

Решение:
Для начала запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось: $$Mv_1-mv_2=0 \Rightarrow M=\frac{mv_2}{v_1}$$ где $m$ — масса шарика, $M$ — масса доски. Далее запишем закон сохранения энергии:
$$E_\text{п.н.}=E_\text{п.к.}+E_\text{к.ш.}+E_\text{к.д.}$$ где начальная потенциальная энергия $E_\text{п.н.}=mgH$, конечная потенциальная энергия $E_\text{п.к.}=mgh$, кинетическая энергия шарика $E_\text{к.ш.}=\frac{mv_2^2}{2}$ и кинетическая энергия доски $E_\text{к.д.}=\frac{Mv_1^2}{2}$. В итоге получим уравнение: $$mgH=mgh+\frac{mv_2^2}{2}+\frac{Mv_1^2}{2}$$ И подставляя уравнение для массы доски получим: $$H=h+\frac{v_2(v_2+v_1)}{2g}=1+\frac{3\cdot(3+0.5)}{2\cdot10}=1.525\,\text{м}$$

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Так как движение тел поступательное, то к ним применима модель материальной точки.
3. Для материальных точек в инерциальной системе отсчета за малый промежуток времени применим сохранения импульса.

Решение:
Перед решением задачи введём систему координат $Oxy$, центр которой совпадает с точкой старта первого шарика.
Тогда так как действие силы сопротивления воздуха мала и тела движется только в поле силы тяжести, то запишем кинематические уравнения движения, описывающие их движение.
$$y_1=v_0t\sin{\alpha}-\frac{gt^2}{2}$$ $$v_{y1}=v_0\sin{\alpha}-gt$$ $$v_{y2}=-gt$$ Теперь запишем закон сохранения импульса в проекции на вертикальную ось $Oy$ (их сумма будет равна нулю так как после соударения скорости шариков были направлены горизонтально): $$p_1+p_2=0\Rightarrow mv_{y1}+mv_{y2}=0\Rightarrow v_{y1}=-v_{y2}\Rightarrow v_0\sin{\alpha}-gt=gt$$ Тогда если выразить из получившегося уравнения время, получим время до столкновения шариков:
$$t_1=\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}$$ И поставить это время в выражения для высоты полёта первого шарика $y_1$ получим высоту на которой произошло столкновение:
$$h=y_1(t_1)=v_0\sin{\alpha}\cdot\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}-\frac{g}{2}\cdot\left(\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}\right)^2=\frac{3v_0^2\sin^2{\alpha}}{8g}$$ И так как проекция вертикальной скорости в момент после соударения равна нулю, то модем рассматривать движение каждого шара, как движение тела брошенного с высоты $h$ имея только горизонтальную скорость, в этом случае время падения вычисляется по формуле: $$t_2=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{3v_0^2\sin^2{\alpha}}{4g\cdot g}}=\frac{\sqrt{3}\cdot v_0\sin{\alpha}}{2g}$$ Искомое время $\tau$, есть ни что иное как время полёта шариков, которое составит:
$$\tau=t_1+t_2=\frac{(1+\sqrt{3})\cdot v_0\sin{\alpha}}{2g}$$

Обоснование:

1. Примем Землю инерциальной системой отсчёта и все законы будем записывать именно в этой системе.

2. Движение тел считаем поступательным, поэтому моделируем их как материальные точки.

3. В задаче пренебрегаем сопротивлением воздуха: тела движутся только под действием силы тяжести с ускорением свободного падения, направленным вертикально вниз. Ось $Oy$ направим вертикально вверх.

4. По горизонтали проекция ускорения равна нулю, значит движение вдоль $Ox$ описывается законами равномерного прямолинейного движения. По вертикали проекция ускорения равна $-g$, поэтому движение вдоль $Oy$ описываем как прямолинейное равноускоренное.

5. Столкновение считаем мгновенным и абсолютно неупругим, следовательно, для описания соударения применяем закон сохранения импульса.

1. Первый шарик запускают из начала координат под углом $\alpha$ со скоростью $v_0$; второй стартует из точки $A$ и, как до, так и после столкновения (в точке $B$), оба свободно падают. До удара для первого шарика: $$y_1(t)=v_0\sin\alpha\cdot t-\frac{g t^2}{2},\qquad v_{1y}(t)=v_0\sin\alpha-gt,$$ а для второго шарика: $$v_{2y}(t)=-gt.$$

2. Столкновение происходит в момент $t_1$. Импульс по вертикали для двух шариков сохраняется, а вертикальная скорость системы после абсолютно неупругого удара равна нулю (скорость сразу после удара — горизонтальная). Значит $$v_{1y}(t_1)+v_{2y}(t_1)=0\ \Rightarrow\ \bigl(v_0\sin\alpha-gt_1\bigr)+(-gt_1)=0,$$ откуда $$t_1=\frac{v_0\sin\alpha}{2g}.$$

3. Высота столкновения: $$h=y_1(t_1)=v_0\sin\alpha\cdot t_1-\frac{g t_1^2}{2} =\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}-\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{8g} =\frac{3}{8}\cdot\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{g}.$$

4. Так как сразу после удара вертикальная скорость равна нулю, оставшееся время падения $t_2$ определяется из $$h=\frac{g t_2^2}{2}\ \Rightarrow\ t_2=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2}{g}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{g}} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{v_0\sin\alpha}{g}.$$

5. Момент падения на землю: $$\tau=t_1+t_2=\frac{v_0\sin\alpha}{2g}\left(1+\sqrt{3}\right).$$