Задание 26: Законы сохранения — ЕГЭ по физике

Пластилиновый шарик в момент времени $t=0$ бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. В какой момент времени $t$ шарики упадут на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:

Обоснование:

Примем Землю инерциальной системой отсчёта и все законы будем записывать именно в этой системе.
Движение тел считаем поступательным, поэтому моделируем их как материальные точки.
В задаче пренебрегаем сопротивлением воздуха: тела движутся только под действием силы тяжести с ускорением свободного падения, направленным вертикально вниз. Ось $Oy$ направим вертикально вверх.
По горизонтали проекция ускорения равна нулю, значит движение вдоль $Ox$ описывается законами равномерного прямолинейного движения. По вертикали проекция ускорения равна $-g$ , поэтому движение вдоль $Oy$ описываем как прямолинейное равноускоренное.
Столкновение считаем мгновенным и абсолютно неупругим, следовательно, для описания соударения применяем закон сохранения импульса.

Первый шарик запускают из начала координат под углом $\alpha$ со скоростью $v_0$ ; второй стартует из точки $A$ и, как до, так и после столкновения (в точке $B$ ), оба свободно падают. До удара для первого шарика: $y_1(t)=v_0\sin\alpha\cdot t-\frac{g t^2}{2},\qquad v_{1y}(t)=v_0\sin\alpha-gt,$ а для второго шарика: $v_{2y}(t)=-gt.$
Столкновение происходит в момент $t_1$ . Импульс по вертикали для двух шариков сохраняется, а вертикальная скорость системы после абсолютно неупругого удара равна нулю (скорость сразу после удара — горизонтальная). Значит $v_{1y}(t_1)+v_{2y}(t_1)=0\ \Rightarrow\ \bigl(v_0\sin\alpha-gt_1\bigr)+(-gt_1)=0,$ откуда $t_1=\frac{v_0\sin\alpha}{2g}.$
Высота столкновения: $h=y_1(t_1)=v_0\sin\alpha\cdot t_1-\frac{g t_1^2}{2} =\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}-\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{8g} =\frac{3}{8}\cdot\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{g}.$
Так как сразу после удара вертикальная скорость равна нулю, оставшееся время падения $t_2$ определяется из $h=\frac{g t_2^2}{2}\ \Rightarrow\ t_2=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2}{g}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{g}} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{v_0\sin\alpha}{g}.$
Момент падения на землю: $\tau=t_1+t_2=\frac{v_0\sin\alpha}{2g}\left(1+\sqrt{3}\right).$