Задание 26: Законы сохранения — ЕГЭ по физике

Пластилиновый шарик в момент t=0 бросают с горизонтальной поверхности Земли под углом α к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. Точка падения шариков на Землю находится на расстоянии L от точки старта первого шарика. С какой начальной скоростью $v_0$ был брошен первый шарик? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Решение:

Обоснование:

Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
Так как движение тел поступательное, то к ним применима модель материальной точки.
Для материальных точек в инерциальной системе отсчета за малый промежуток времени применим сохранения импульса.

Решение:
Перед решением задачи введём систему координат $Oxy$ , центр которой совпадает с точкой старта первого шарика.
Тогда так как действие силы сопротивления воздуха мала и тела движется только в поле силы тяжести, то запишем кинематические уравнения движения, описывающие их:
$y_1=v_0t\sin{\alpha}-\frac{gt^2}{2}$ $x_1=v_0t\cos{\alpha}$ $v_{y1}=v_0\sin{\alpha}-gt$ $v_{x1}=v_0\cos{\alpha}$ $v_{y2}=-gt$ Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось $Ox$ : $2mu_x=mv_{x1}\Rightarrow u_x=\frac{v_x}{2}=\frac{v_0\cos{\alpha}}{2}$ где $u_x$ –скорость шариков после соударения. Теперь запишем закон сохранения импульса в проекции на вертикальную ось $Oy$ (их сумма будет равна нулю так как после соударения скорости шариков были направлены горизонтально): $p_1+p_2=0\Rightarrow mv_{y1}+mv_{y2}=0\Rightarrow v_{y1}=-v_{y2}\Rightarrow v_0\sin{\alpha}-gt=gt$ Тогда если выразить из получившегося уравнения время, получим время до столкновения шариков:
$t_1=\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}$ И поставить это время в выражения для высоты полёта первого шарика $y_1$ получим высоту на которой произошло столкновение:
$h=y_1(t_1)=v_0\cdot\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}-\frac{g}{2}\cdot\left(\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}\right)^2=\frac{3v_0^2\sin^2{\alpha}}{8g}$ И так как проекция вертикальной скорости в момент после соударения равна нулю, то модем рассматривать движение каждого шара, как движение тела брошенного с высоты $h$ имея только горизонтальную скорость $u_x$ , в этом случае время падения вычисляется по формуле: $t_2=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{3v_0^2\sin^2{\alpha}}{4g\cdot g}}=\frac{\sqrt{3}\cdot v_0\sin{\alpha}}{2g}$ Теперь вычислим дальности полёта шариков до и после столкновения: До удара: $L_1=v_xt_1=v_0t_1\cos{\alpha}=\frac{v_0^2\sin{2\alpha}}{4g}$ После удара: $L_1=u_xt_2=\frac{v_0\cos{\alpha}}{2}t_2=\frac{\sqrt{3}v_0^2\sin{2\alpha}}{8g}$ И так как дальность полёта $L=L_1+L_2$ , то объединяя формулы выразим искомую скорость $v_0$ : $v_0=\sqrt{\frac{8Lg}{(2+\sqrt{3})\sin{2\alpha}}}$