Задание 26: Законы сохранения — ЕГЭ по физике

На столе лежит шайба массой M, скрепленная легкой пружиной с другой такой же шайбой. На гладкой поверхности верхней шайбы покоится груз массой m=1 кг. В начальный момент времени коротким ударом с помощью горизонтальной силы F груз сбивают с верхней шайбы. Верхняя шайба начинает двигаться вертикально вверх. При каких значениях M в процессе этого движения нижняя шайба оторвется от стола? Какие законы Вы использовали при решении задачи. Обоснуйте их использование.
Иллюстрация к заданию №12457

Решение:

Обоснование:

Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
Так как движение тел поступательное, то к ним применима модель материальной точки.
На тело после отрыва действует только потенциальная сила тяжести, работа непотенциальных сил равна нулю, следовательно можем применить закон сохранения энергии.
В ИСО для описание материальной точки можем применять второй закон Ньютона.
Малый деформации пружины можно считать упругими, а значит к пружине применим закон Гука.

Решение:
Для решения задачи примем за нулевой потенциальный уровень положение верхней шайбы в начальный момент. А растяжение пружины будем считать относительно ей нерастянутого состояния, тогда в начальном положении растяжении пружины было $x_1$ , а после того как груз скинут, то пружины окажется в растянутом состоянии и её длина составит $x_2$ . Суммой $x_1$ и $x_2$ и будет высота $h$ , на которую поднялся верхняя шайба после скидывания груза, и справедливо равенство $h=x_1+x_2$ .
Так же изобразим силы, действующие на верхнюю шайбу в начальном состоянии, а именно силу упругости $F_\text{упр1}$ и силу тяжести $(M+m)g$ и силы, действующие на нижнюю шайбу плосле скидывания груза, а именно силу тяжести $Mg$ , силу реакции опоры $N$ и силу упругости $F_\text{упр2}$ .
Иллюстрация к заданию №12457

Далее запишем второй закон Ньютона для верхней шайбы в начальном состоянии, в проекции на вертикальную ось и получим: $(M+m)g=F_\text{упр}=kx_1\Rightarrow x_1=\frac{(M+m)g}{k}$ Теперь запишем второй закон Ньютона для нижней шайбы в проекции на вертикальную ось и получим: $Mg=F_\text{упр}+N=kx_2+N\Rightarrow x_2=\frac{Mg-N}{k}$ И в момент отрыва нижней шайбы сила реакции опоры будет равна нулю $N=0$ , и тогда мы получим: $x_2=\frac{Mg}{k}$ Теперь запишем закон сохранения энергии, а именно в начально состоянии система обладала потенциальной энергией $E_\text{п1}=\frac{kx_1^2}{2}$ , а в конечном $E_\text{п2}=\frac{kx_2^2}{2}$ и так груз поднялся на высоту $h$ , то он обладает потенциальной энергией $E_h=Mgh$ , тогда получим равенство: $E_\text{п1}=E_\text{п2}+E_h \Rightarrow \frac{kx_1^2}{2}=\frac{kx_2^2}{2}+Mgh\Rightarrow \frac{k}{2}(x_1^2-x_2^2)=Mgh\Rightarrow\frac{k}{2}(x_1-x_2)(x_1+x_2)=Mgh\Rightarrow\frac{k(x_1-x_2)}{2}=Mg$ Объединяя все формулы, получим: $M=\frac{m}{2}=\frac{1}{2}=0.5\,\text{кг}$