Задание 26: Законы сохранения — ЕГЭ по физике

На гладком неподвижном столе находится шайба массой M=200 г, скрепленная невесомой пружиной с другой такой же шайбой. На гладкой поверхности верхней шайбы находится груз массой m. Груз сбивают коротким ударом горизонтальной силой F, после чего верхняя шайба начинает двигаться вверх. Определите при каком значении массы груза m нижняя шайба оторвется от стола. Движение шайбы считать поступательным. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Иллюстрация к заданию №12458

Решение:

Обоснование:

Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
Так как движение тел поступательное, то к ним применима модель материальной точки.
На тело после отрыва действует только потенциальная сила тяжести, работа непотенциальных сил равна нулю, следовательно можем применить закон сохранения энергии.
В ИСО для описание материальной точки можем применять второй закон Ньютона.
Малый деформации пружины можно считать упругими, а значит к пружине применим закон Гука.

Решение:
Для решения задачи примем за нулевой потенциальный уровень положение верхней шайбы в начальный момент. А растяжение пружины будем считать относительно ей нерастянутого состояния, тогда в начальном положении растяжении пружины было $x_1$ , а после того как груз скинут, то пружины окажется в растянутом состоянии и её длина составит $x_2$ . Суммой $x_1$ и $x_2$ и будет высота $h$ , на которую поднялся верхняя шайба после скидывания груза, и справедливо равенство $h=x_1+x_2$ .
Так же изобразим силы, действующие на верхнюю шайбу в начальном состоянии, а именно силу упругости $F_\text{упр1}$ и силу тяжести $(M+m)g$ и силы, действующие на нижнюю шайбу после скидывания груза, а именно силу тяжести $Mg$ , силу реакции опоры $N$ и силу упругости $F_\text{упр2}$ .
Иллюстрация к заданию №12458

Далее запишем второй закон Ньютона для верхней шайбы в начальном состоянии, в проекции на вертикальную ось и получим: $(M+m)g=F_\text{упр}=kx_1\Rightarrow x_1=\frac{(M+m)g}{k}$ Теперь запишем второй закон Ньютона для нижней шайбы в проекции на вертикальную ось и получим: $Mg=F_\text{упр}+N=kx_2+N\Rightarrow x_2=\frac{Mg-N}{k}$ И в момент отрыва нижней шайбы сила реакции опоры будет равна нулю $N=0$ , и тогда мы получим: $x_2=\frac{Mg}{k}$ Теперь запишем закон сохранения энергии, а именно в начально состоянии система обладала потенциальной энергией $E_\text{п1}=\frac{kx_1^2}{2}$ , а в конечном $E_\text{п2}=\frac{kx_2^2}{2}$ и так груз поднялся на высоту $h$ , то он обладает потенциальной энергией $E_h=Mgh$ , тогда получим равенство: $E_\text{п1}=E_\text{п2}+E_h \Rightarrow \frac{kx_1^2}{2}=\frac{kx_2^2}{2}+Mgh\Rightarrow \frac{k}{2}(x_1^2-x_2^2)=Mgh\Rightarrow\frac{k}{2}(x_1-x_2)(x_1+x_2)=Mgh\Rightarrow\frac{k(x_1-x_2)}{2}=Mg$ Объединяя все формулы, получим: $m=2M=2\cdot0.2=0.4\,\text{кг}$