Тип 26 № 12459

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Так как движение шарика поступательное, то к нему применима модель материальной точки.
3. На шарик действует только потенциальная сила тяжести, работа непотенциальных сил равна нулю, следовательно можем применить закон сохранения энергии.
4. Поскольку при ударе о доску модуль скорости шарика не изменился, то можно считать, что удар абсолютно упругий, следовательно, угол отскока равен углу при падении и равен $\alpha$.

Решение:
Для начала запишем закон сохранения энергии до удара шарика о доску. В начальный момент времени он обладал только потенциальной энергии $E_\text{п1}=mgH$, а в момент удара он обладал потенциальной энергией $E_\text{п2}=mgh$ и кинетической энергии $E_\text{к}=\frac{mv_0^2}{2}$, таким образом закон сохранения энергии будет иметь вид: $$E_\text{п1}=E_\text{п2}+E_\text{к}\Rightarrow mgH=mgh+\frac{mv_0^2}{2}\Rightarrow gH=gh+\frac{v_0^2}{2}\Rightarrow H=h+\frac{v_0^2}{2g}$$ Построим рисунок, на котором покажем угол между горизонтом и скоростью:

Как видно из построения угол между скоростью и горизонтом равен $\beta=90^\circ-2\alpha$.
После отскока движение шарика становиться аналогично движению шарика брошенного плд углом $\beta$ к горизонту. В этом случае вдоль вертикальной оси шарик будет двигаться равноускоренно с ускорением свободного падения $g$, а проекция скорости $v_{0y}=v_0\sin{\beta}=v_0\sin{(0^\circ-2\alpha)}=v_0\cos{2\alpha}$. На максимальной высоте $v_{y}=0$. Следовательно, применяя формулу для пути при равноускоренном движении, через начальную и конечную скорость получим:
$$h_1-h=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{-2g}=\frac{v_0^2\cos^2{2\alpha}}{2g}\Rightarrow v_0^2=\frac{2(h_1-h)g}{\cos^2{2\alpha}}$$ И тогда искомая высота $H$ вычисляется по формуле: $$H=h+\frac{v_0^2}{2g}=h+\frac{1}{2g}\cdot\frac{2(h_1-h)g}{\cos^2{2\alpha}}=h+\frac{h_1-h}{\cos^2{2\alpha}}=1+\frac{1.25-1}{0.25}=2\,\text{м}$$