Тип 24 № 12503

Условие начала подъёма: сила Архимеда не меньше суммарного веса оболочки и воздуха внутри, $$F_{\text{арх}}\ge Mg+mg,$$ или, в плотностях, $$\rho_0 g V \ge Mg+\rho g V \ \Rightarrow\ \rho_0 V \ge M+\rho V,$$ где $\rho_0$ — плотность наружного воздуха, $\rho$ — плотность воздуха внутри оболочки, $V$ — объём шара.

Для воздуха внутри шара, при равенстве давлений снаружи и внутри, $$\frac{pV}{T}=\frac{m}{\mu}R \quad\Rightarrow\quad \frac{m}{V}=\rho=\frac{p\,\mu}{R\,T},$$ где $p$ — атмосферное давление, $T$ — температура внутри шара, $\mu$ — молярная масса воздуха, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Соответственно, плотность окружающего воздуха: $$\rho_0=\frac{\mu p}{R T_0},$$ где $T_0$ — температура внешнего воздуха.

Подставляя в условие подъёма, $$\frac{p\,\mu\,V}{R\,T_0}\ge M+\frac{p\,\mu\,V}{R\,T} \ \Rightarrow\ \frac{p\,\mu\,V}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right)\ge M \ \Rightarrow\ \frac{1}{T_0}=\frac{1}{T}+\frac{M R}{p\,\mu\,V}.$$

Отсюда максимальная температура внешнего воздуха, $$T_{0,\max}=\frac{\mu p\,V\,T}{\mu p\,V+M R\,T}.$$

Подстановка чисел (в СИ): $\mu=29\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}$, $p=10^{5}\ \text{Па}$, $V=230\ \text{м}^3$, $T=265+273=538\ \text{К}$, $M=145\ \text{кг}$, $R=8{,}31\ \text{Дж/(моль К)}$: $$T_{0,\max}=\frac{29\cdot 10^{-3}\cdot 10^{5}\cdot 230\cdot 538} {29\cdot 10^{-3}\cdot 10^{5}\cdot 230+145\cdot 8{,}31\cdot 538} \approx 273\ \text{К}.$$

Следовательно, $$T_{0,\max}\approx 273~\text{К}\ \ (\approx 0~^\circ\text{C}).$$ Ответ: $T_{0,\max}\approx 273~\text{К}\ \ (\approx 0~^\circ\text{C}).$